9.在△ABC中,三個(gè)內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別是a,b,c,且滿足(b-a)(sinB+sinA)=(b-a)sinC,cosC=$\frac{\sqrt{3}}{3}$,a=3.
(1)求sinB的值;
(2)求△ABC的面積.

分析 (1)由(b-a)(sinB+sinA)=(b-a)sinC,利用正弦定理可得:(b-a)(b+a)=(b-a)c,由于a+b≠c,可得b=a,再利用余弦定理可得c,進(jìn)而得出cosB.再利用正弦定理即可得出.
(2)利用S△ABC=$\frac{1}{2}absinC$即可得出.

解答 解:(1)∵(b-a)(sinB+sinA)=(b-a)sinC,
∴(b-a)(b+a)=(b-a)c,
∵a+b≠c,
∴b=a=3,
∴c2=a2+b2-2abcosC=2×32-2×32×$\frac{\sqrt{3}}{3}$=18-6$\sqrt{3}$,
∵cosC=$\frac{\sqrt{3}}{3}$,∴sinC=$\sqrt{1-co{s}^{2}C}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$.
由正弦定理可得:$\frac{3}{sinB}=\frac{\sqrt{18-6\sqrt{3}}}{\frac{\sqrt{6}}{3}}$,
解得sinB=$\sqrt{\frac{3+\sqrt{3}}{6}}$=$\frac{\sqrt{18+6\sqrt{3}}}{6}$.
(2)S△ABC=$\frac{1}{2}absinC$=$\frac{1}{2}×3×3×\frac{\sqrt{6}}{3}$=$\frac{3\sqrt{6}}{2}$.

點(diǎn)評(píng) 本題考查了正弦定理余弦定理、同角三角函數(shù)基本關(guān)系式、三角形面積計(jì)算公式,考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于中檔題.

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