Question

19．已知函數(shù)f（x）=$\frac{{x}^{2}+b}{x}$（b為常數(shù)）．
（Ⅰ）當f（1）=f（4），函數(shù)F（x）=f（x）-k有且僅有一個零點x₀，且x₀＞0時，求k的值；
（Ⅱ）若b＜0，用定義證明函數(shù)y=f（x）在區(qū)間（0，+∞）上為單調(diào)遞增函數(shù)．
（Ⅱ）若b＞0，當x∈[1，3]時不等式f（x）≥2恒成立，求b的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由f（1）=f（4），可得b=4，再由f（x）的單調(diào)性，可得最小值4，即可得到k的值；
（Ⅱ）運用單調(diào)性的定義證明，在（0，+∞）任意取x₁，x₂，作差，變形和定符號，下結論幾個步驟；
（Ⅲ）求得f（x）的極小值點，討論當b＞9時，當1≤b≤9時，當0＜b＜1時，由恒成立思想和函數(shù)的單調(diào)性，即可得到b的范圍．

解答 解：（Ⅰ）∵f（1）=f（4）
∴$1+b=4+\frac{4}$，得b=4，
又$f（x）=\frac{{{x^2}+4}}{x}=k$僅有一正根，
由f（x）=x+$\frac{4}{x}$在（0，2）遞減，在（2，+∞）遞增，
且x=2時，取得最小值4，
即有k＞0，且k=4；                            
（Ⅱ）在（0，+∞）任意取x₁，x₂，并假設0＜x₁＜x₂，
則$f（{x_1}）-f（{x_2}）=\frac{{{x_1}^2+b}}{x_1}-\frac{{{x_2}^2+b}}{x_2}$=$（{x_1}-{x_2}）（\frac{{{x_1}{x_2}-b}}{{{x_1}{x_2}}}）$，
由0＜x₁＜x₂，b＜0，即有x₁-x₂＜0，x₁x₂-b＞0，
故f（x₁）＜f（x₂），
即函數(shù)y=f（x）在區(qū)間（0，+∞）上為單調(diào)遞增函數(shù)．
（Ⅲ）由函數(shù)圖象知，$f（x）=x+\frac{x}$在$（0，\sqrt）$遞減，$（\sqrt，+∞）$遞增，
故當b＞9時，x∈[1，3]單調(diào)遞減，故f（3）≥2，得b≥-3，
因此b＞9成立；
當1≤b≤9時，$f{（x）_{min}}=f（\sqrt）=2\sqrt≥2$，因此1≤b≤9；
當0＜b＜1時，f（x）在[1，3]單調(diào)遞增，
故f（1）≥2，得b≥1，因此無解．
綜上所述，b的取值范圍是[1，+∞）．

點評 本題考查函數(shù)的零點、單調(diào)性和不等式恒成立問題的解法，考查轉化思想和分類討論的思想，考查運算能力，屬于中檔題．