Question

20．求下列曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：
（1）兩個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)分別是（0，-6），（0，6），且雙曲線過點(diǎn)A（-5，6），求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）求以原點(diǎn)為頂點(diǎn)，以坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸，且焦點(diǎn)在直線3x-4y-12=0上的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程．

Answer 1

分析 （1）利用雙曲線的定義，結(jié)合焦點(diǎn)坐標(biāo)，求出a，b，即可求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）分類討論，確定拋物線的焦點(diǎn)，即可求出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程．

解答 解：（1）由題意c=6，可設(shè)F₁（0，-6），F(xiàn)₂（0，6），則$||A{F_1}|-|A{F_2}||=|\sqrt{{{（{-5}）}^2}+{{（{6+6}）}^2}}-\sqrt{{{（{-5}）}^2}+{0^2}}|=8=2a$，…（2分）
∴a=4，b²=c²-a²=20，…（4分）
∴所求的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{y^2}{16}-\frac{x^2}{20}=1$．…（6分）
（2）因?yàn)榻裹c(diǎn)在直線3x-4y-12=0，所以焦點(diǎn)坐標(biāo)為（0，-3）或（4，0）．…（7分）
當(dāng)焦點(diǎn)（0，-3）時(shí)，設(shè)拋物線方程為x²=-2py，$\frac{p}{2}=3，p=6$，拋物線方程為x²=-12y，…（9分）
當(dāng)焦點(diǎn)（4，0）時(shí)，設(shè)拋物線方程為y²=2px，$\frac{p}{2}=4，p=8$，拋物線方程為y²=16x．…（11分）
所以拋物線方程為y²=16x或x²=-12y．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線、拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．