Question

9．已知$\overrightarrow{a}$=（sinωx+$\sqrt{3}$cosωx，2cosωx），$\overrightarrow$=（sinωx，cosωx），設(shè)f（x）=$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$，其中f（α）=$\frac{3}{2}$，f（β）=$\frac{1}{2}$，且|α-β|的最小值為$\frac{π}{4}$．
（1）求ω的值和函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）設(shè)A，B為三角形的內(nèi)角，且f（A）=2，求f（B）的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由平面向量數(shù)量積的運(yùn)算化簡(jiǎn)函數(shù)解析式可得f（x）=sin（2ωx+$\frac{π}{6}$）$+\frac{3}{2}$，由題意可解得α=$\frac{{k}_{1}π-\frac{π}{6}}{2ω}$，k₁∈Z，β=$\frac{2{k}_{2}-\frac{2π}{3}}{2ω}$，k₂∈Z，由|α-β|的最小值為$\frac{π}{4}$．可解得：|ω|≤|2k₁-4k₂|+$\frac{1}{2}$，k₁∈Z，k₂∈Z，從而可求ω的值．由2kπ-$\frac{π}{2}$≤x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z可解得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間．
（2）由題意得sin（A+$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{2}$，結(jié)合$\frac{π}{6}$＜A+$\frac{π}{6}$＜$\frac{7π}{6}$，可解得A．可得0$＜B＜\frac{π}{3}$，$\frac{π}{6}$＜B+$\frac{π}{6}$＜$\frac{π}{2}$，由正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可求得f（B）的取值范圍．

解答 解：（1）∵f（x）=$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=sin²ωx+$\sqrt{3}$cosωxsinωx+2cos²ωx=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2ωx+$\frac{1}{2}$cos2ωx+$\frac{3}{2}$=sin（2ωx+$\frac{π}{6}$）$+\frac{3}{2}$，
∵f（α）=sin（2ωα+$\frac{π}{6}$）$+\frac{3}{2}$=$\frac{3}{2}$，可得2ωα+$\frac{π}{6}$=k₁π，k₁∈Z，解得：α=$\frac{{k}_{1}π-\frac{π}{6}}{2ω}$，k₁∈Z，
f（β）=sin（2ωβ+$\frac{π}{6}$）$+\frac{3}{2}$=$\frac{1}{2}$，可得2ωβ+$\frac{π}{6}$=2k₂π$-\frac{π}{2}$，k₂∈Z，解得：β=$\frac{2{k}_{2}-\frac{2π}{3}}{2ω}$，k₂∈Z，
∵|α-β|的最小值為$\frac{π}{4}$．
∴|α-β|=|$\frac{{k}_{1}π-\frac{π}{6}}{2ω}$-$\frac{2{k}_{2}-\frac{2π}{3}}{2ω}$|=|$\frac{π（{k}_{1}-2{k}_{2}+\frac{1}{2}）}{2ω}$|≥$\frac{π}{4}$．k₁∈Z，k₂∈Z，
可解得：|ω|≤|2k₁-4k₂|+$\frac{1}{2}$，k₁∈Z，k₂∈Z，
取k₁=2．k₂=1可解得ω=1．
∴f（x）=sin（2x+$\frac{π}{6}$）$+\frac{3}{2}$，由2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z可解得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為：[k$π-\frac{π}{3}$，kπ+$\frac{π}{6}$]，k∈Z．
（2）∵f（A）=sin（2A+$\frac{π}{6}$）$+\frac{3}{2}$=2，可得sin（2A+$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{2}$，由$\frac{π}{6}$＜2A+$\frac{π}{6}$＜$\frac{13π}{6}$，可解得：A=$\frac{π}{3}$．
∴0$＜B＜\frac{2π}{3}$，$\frac{π}{6}$＜B+$\frac{π}{6}$＜$\frac{5π}{6}$，$\frac{1}{2}$＜sin（B+$\frac{π}{6}$）＜1，
∴f（B）=sin（B+$\frac{π}{6}$）$+\frac{3}{2}$∈（2，$\frac{5}{2}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了平面向量數(shù)量積的運(yùn)算，正弦函數(shù)的單調(diào)性，考查了學(xué)生綜合分析問題和基本的運(yùn)算能力，屬于基本知識(shí)的考查．