Question

18．已知數(shù)列{a_n}{b_n}，對(duì)任何正整數(shù)n，都有a₁b₁+a₂b₂+a₃b₃+…+a_n-1•b_n-1+a_n•b_n=（n-1）•2ⁿ+1
（1）若數(shù)列{b_n}是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列，求數(shù)列{a_n}通項(xiàng)公式；
（2）求證：$\frac{1}{{a}_{1}•_{1}}$+$\frac{1}{{a}_{2}•_{2}}$+$\frac{1}{{a}_{3}•_{3}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n}•_{n}}$＜$\frac{3}{2}$．

Answer 1

分析 （1）仿寫等式，兩式相減得到a_nb_n⁼n•2^（n-1）利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求出b_n=2^（n-1）代入求出a_n=n；
（2）由$\frac{1}{{a}_{i}_{i}}$=$\frac{1}{i•{2}^{i-1}}$，通過放縮法得到要證的不等式．

解答 解：（1）由題意可得n=1時(shí)，a₁b₁=1，
a₁b₁+a₂b₂+a₃b₃+…+a_n-1•b_n-1+a_n•b_n=（n-1）•2ⁿ+1①
將n換為n-1，（n＞1），可得a₁b₁+a₂b₂+a₃b₃+…+a_n-1•b_n-1=（n-2）•2^n-1+1②
①-②，可得a_nb_n=（n-1）•2ⁿ-（n-2）•2^n-1=n•2^n-1，
由首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列，可得b_n=2^n-1，
可得a_n=n；
（2）證明：a_ib_i=i•2^（i-1） 所以$\frac{1}{{a}_{i}_{i}}$=$\frac{1}{i•{2}^{i-1}}$，
所以$\sum_{i=1}^{n}$$\frac{1}{{a}_{i}_{i}}$=$\frac{1}{1×{2}^{0}}$+$\frac{1}{2×{2}^{1}}$+$\frac{1}{3×{2}^{2}}$+…+$\frac{1}{n•{2}^{n-1}}$＜1+$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{8}$+…+$\frac{1}{{2}^{n-1}}$＜1+$\frac{\frac{1}{4}-\frac{1}{{2}^{n}}}{1-\frac{1}{2}}$
=1+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{{2}^{n-1}}$＜$\frac{3}{2}$得證．

點(diǎn)評(píng) 求數(shù)列的前n項(xiàng)和關(guān)鍵是求出數(shù)列的通項(xiàng)，根據(jù)通項(xiàng)的特點(diǎn)選擇合適的求和方法，考查放縮法的證明不等式．