Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的焦距和短軸長相等，且橢圓C過點（1，-

2

2

）．過點P（0，2）的直線l交橢圓C于M、N兩點．
（1）求橢圓C的標準方程；
（2）當△MON的面積最大時，求直線l 的方程，并求出此時面積的最大值．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的關(guān)系,橢圓的標準方程

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）由于橢圓的焦距和短軸長相等，可得2c=2b，a²=2b²．把點（1，-

2

2

）代入可得：

1

2b2

+

1

2b2

=1，解得b²，即可得出．
（2）設直線l的方程為：y=kx+2，M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．與橢圓的方程聯(lián)立化為（1+2k²）x²+8kx+6=0，由△＞0，解得k2＞

3

2

．利用根與系數(shù)的關(guān)系可得：
|MN|=

(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]

=

2 (1+k2)(4k2-6)

1+2k2

．利用點到直線的距離公式公式可得：原點O到直線l的距離d=

2

1+k2

．再利用S_△MON=

1

2

|MN|•d=

2 4k2-6

1+2k2

與基本不等式的性質(zhì)即可得出．

解答： 解：（1）∵橢圓的焦距和短軸長相等，∴2c=2b，∴a²=2b²．
把點（1，-

2

2

）代入可得：

1

2b2

+

1

2b2

=1，解得b²=1，a²=2．
∴橢圓C的標準方程為

x2

2

+y2=1．
（2）設直線l的方程為：y=kx+2，M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．
聯(lián)立

y=kx+2 x2+2y2=2

，化為（1+2k²）x²+8kx+6=0，
△=64k²-24（1+2k²）＞0，解得k2＞

3

2

．
∴x₁+x₂=-

8k

1+2k2

，x₁x₂=

6

1+2k2

．
∴|MN|=

(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]

=

2 (1+k2)(4k2-6)

1+2k2

．
原點O到直線l的距離d=

2

1+k2

．
∴S_△MON=

1

2

|MN|•d=

2 4k2-6

1+2k2

=2

1 k2- 3 2 + 4 k2- 3 2 +4

≤

2

2

，當且僅當k²=

7

2

時取等號，滿足△＞0．
∴直線l 的方程為y=±

14

2

x+2，此時面積的最大值為

2

2

．

點評：本題考查了橢圓的標準方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關(guān)系、弦長公式、點到直線的距離公式公式、三角形的面積計算公式、基本不等式的性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．