Question

12．在△ABC中，點(diǎn)D和E分別在邊BC和AC上，且BC=3BD，CA=3CE，AD與BE交于點(diǎn)P，若$\overrightarrow{AP}$=m$\overrightarrow{AD}$，$\overrightarrow{BP}$=n$\overrightarrow{BE}$（m，n∈R），則m+n=$\frac{9}{7}$．

Answer 1

分析 可根據(jù)條件用向量$\overrightarrow{AB}，\overrightarrow{AE}$表示出向量$\overrightarrow{AP}$：$\overrightarrow{AP}=\frac{2m}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{m}{2}\overrightarrow{AE}$，而三點(diǎn)B，P，E共線(xiàn)，這樣便可得出$\frac{2m}{3}+\frac{m}{2}=1$，從而求出m的值，而同理可求出n的值，從而得出m+n的值．

解答 解：根據(jù)條件：$\overrightarrow{AP}=m\overrightarrow{AD}$
=$m（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD}）$
=$m（\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{BC}）$
=$m[\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}（\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}）]$
=$m（\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AE}）$
∵B，P，E三點(diǎn)共線(xiàn)；
∴$\frac{2m}{3}+\frac{m}{2}=1$；
∴$m=\frac{6}{7}$；
同理求得n=$\frac{3}{7}$；
∴$m+n=\frac{9}{7}$．
故答案為：$\frac{9}{7}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查向量加法、減法和數(shù)乘的幾何意義，以及向量數(shù)乘的運(yùn)算，三點(diǎn)共線(xiàn)的充要條件：$\overrightarrow{OC}=x\overrightarrow{OA}+y\overrightarrow{OB}$，且x+y=1．