Question

16．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），點(diǎn)A（-4，0），B（0，2）和點(diǎn)P（m，n）（m≠0）都在橢圓C上，BP⊥AB，且直線BP與x軸交于點(diǎn)M．
（Ⅰ）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程和離心率；
（Ⅱ）求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（Ⅲ）若以M為圓心，r為半徑的圓在橢圓C的內(nèi)部，求r的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由A、B在橢圓C上，易得a=4，b=2，可得橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{{x}^{2}}{16}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1，可得離心率；
（Ⅱ）由點(diǎn)在橢圓可得$\frac{{m}^{2}}{16}$+$\frac{{n}^{2}}{4}$=1，再由BP⊥AB可得$\frac{n-2}{m-0}$•$\frac{2-0}{0-（-4）}$=-1，解方程組可得點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（Ⅲ）由直線的知識可得M（1，0），設(shè)橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{16}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1上任意一點(diǎn)為N（4cosα，2sinα），由三角函數(shù)和二次函數(shù)可得MN|²的最小值，由圓在橢圓內(nèi)部結(jié)合圖象可得r的范圍．

解答 解：（Ⅰ）∵橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），點(diǎn)A（-4，0），B（0，2）和點(diǎn)P（m，n）都在橢圓C上，
∴$\frac{16}{{a}^{2}}$=1，$\frac{4}{^{2}}$=1，解得a=4，b=2，∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{{x}^{2}}{16}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1，
∴橢圓C的離心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{{4}^{2}-{2}^{2}}}{4}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得$\frac{{m}^{2}}{16}$+$\frac{{n}^{2}}{4}$=1，再由BP⊥AB可得$\frac{n-2}{m-0}$•$\frac{2-0}{0-（-4）}$=-1，
聯(lián)立解得m=$\frac{32}{17}$，n=-$\frac{30}{17}$，故點(diǎn)P的坐標(biāo)（$\frac{32}{17}$，-$\frac{30}{17}$）；
（Ⅲ）由A（-4，0），B（0，2）可得AB的斜率為-$\frac{1}{2}$，由垂直關(guān)系可得BP斜率k=-2，
故直線BP的方程為y-2=-2（x-0），即y=2-2x，令y=0可得x=1，故M（1，0），
設(shè)橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{16}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1上任意一點(diǎn)為N（4cosα，2sinα），
則|MN|²=（4cosα-1）²+（2sinα-0）²=16cos²α-8cosα+1+4sin²α
=12cos²α-8cosα+5，當(dāng)cosα=-$\frac{-8}{2×12}$=$\frac{1}{3}$時，|MN|²取最小值$\frac{11}{3}$，
|MN|取最小值$\sqrt{\frac{11}{3}}$=$\frac{\sqrt{33}}{3}$，
∵以M為圓心，r為半徑的圓在橢圓C的內(nèi)部，
∴r的取值范圍為：（0，$\frac{\sqrt{33}}{3}$）

點(diǎn)評 本題考查橢圓的簡單幾何性質(zhì)，涉及三角換元和二次函數(shù)區(qū)間的最值以及數(shù)形結(jié)合思想，屬中檔題．