Question

4．為了調查某校2000名高中生的體能情況，從中隨機選取m名學生進行體能測試，將得到的成績分成[60，70），[70，80），…，[110，120]六個組，并作出如下頻率分布直方圖，已知第四組的頻數為12，圖中從左到右的第一、二個矩形的面積比為4：5．規(guī)定：成績在[60，70）、[70，90）、[90，110）、[110，120）的分別記為“不合格”、“合格”、“良好”，“優(yōu)秀”，根據圖中的信息，回答下列問題．
（Ⅰ）求x和m的值，并補全這個頻率分布直方圖；
（Ⅱ）利用樣本估計總體的思想，估計該校學生體能情況為“優(yōu)秀或良好”的人數；
（Ⅲ）根據頻率分布直方圖，從“不合格”和“優(yōu)秀”的兩組學生中隨機抽取2人，求所抽取的2人恰好形成“一幫一”（一個優(yōu)秀、一個不合格）互助小組的概率．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由頻率分布直方圖先求出x，從而求出第四組的頻率，由此能求出m，并補全頻率分布直方圖．
（Ⅱ）由頻率分布直方圖能估計“優(yōu)秀或良好”的人數，由此利用列舉法能求出所抽取的2人恰好形成“一幫一”互助小組的概率．

解答 （本題滿分12分）
解：（Ⅰ）依題意得：$\frac{0.01×10}{10x}=\frac{4}{5}$，…（1分）
解得x=0.0125…（2分）
∴第四組的頻率為1-10（0.010+0.0125+0.0225+0.020+0.005）=0.3，…（3分）
∴$\frac{12}{m}=0.3$，解得m=40…（4分）
補全頻率分布直方圖如圖…（5分）
（Ⅱ）由圖估計“優(yōu)秀或良好”的人數為2000×10×（0.03+0.02+0.005）（6分）=1100（7分）
（Ⅲ）“不合格”的人數為0.010×10×40=4，
“優(yōu)秀”的人數為0.005×10×40=2，（8分）
設“不合格”的4人分別為a₁，a₂，a₃，a₄，“優(yōu)秀”的2人分別為b₁，b₂，
從中任取2人的所有基本事件為：
（a₁，a₂），（a₁，a₃），（a₁，a₄），（a₁，b₁），（a₁，b₂），（a₂，a₃），
（a₂，a₄），（a₂，b₁），（a₂，b₂），（a₃，a₄），（a₃，b₁），（a₃，b₂），
（a₄，b₁），（a₄，b₂），（b₁，b₂），共15種（10分）
設所抽取的2人恰好形成“一幫一”互助小組為事件A，其中包含的基本事件為：
（a₁，b₁），（a₁，b₂），（a₂，b₁），（a₂，b₂），
（a₃，b₁），（a₃，b₂），（a₄，b₁），（a₄，b₂），共有8種，（11分）
故所抽取的2人恰好形成“一幫一”互助小組的概率$P（A）=\frac{8}{15}$．（12分）
（注：15種基本事件，全對得（2分），列錯1～7種扣（1分），錯8種及以上不給分）

點評 本題考查頻率分布直方圖的應用，考查概率的求法，是基礎題，解題時要認真審題，注意列舉法的合理運用．