Question

15．已知圓C：x²+y²+Dx+Ey+3=0的圓心C在直線x+y-1=0上，且點(diǎn)C在第二象限，半徑為$\sqrt{2}$．  
（1）求圓C的方程； 
（2）斜率為2的直線l與圓C交于A，B兩點(diǎn)，若|AB|=2，求直線l方程．

Answer 1

分析 （1）由圓的方程寫出圓心坐標(biāo)，因?yàn)閳AC關(guān)于直線x+y-1=0對稱，得到圓心在直線上，把圓的方程變成標(biāo)準(zhǔn)方程得到半徑的式子等于$\sqrt{2}$得到方程，聯(lián)立求出D和E，即可寫出圓的方程；
（2）設(shè)所求直線l：y=2x+m，即2x-y+m=0，根據(jù)勾股定理列出式子求出m即可．

解答 解：（1）由題意，可設(shè)點(diǎn)C（a，1-a）（a＜0），∴$\left\{{\begin{array}{l}{-\frac{D}{2}=a}\\{-\frac{E}{2}=1-a}\end{array}}\right.$即$\left\{{\begin{array}{l}{D=-2a}\\{E=2a-2}\end{array}}\right.$
故圓C方程為：x²+y²-2ax+（2a-2）y+3=0，
∴${r^2}=\frac{{{{（{-2a}）}^2}+{{（{2a-2}）}^2}-4×3}}{4}=2{a^2}-2a-2$
又$r=\sqrt{2}$，∴2a²-2a-2=2解得a=-1或a=2（舍），
∴圓C方程為：x²+y²+2x-4y+3=0；
（2）由（1）得圓C方程為（x+1）²+（y-2）²=2，圓心C（-1，2）
設(shè)所求直線l：y=2x+m，即2x-y+m=0
圓心C到直線l的距離為d，由|AB|=2而$\left|{\left.{AB}\right|}\right.=2\sqrt{{r^2}-{d^2}}$，可得d=1，
∴$\frac{{\left|{\left.{-2-2+m}\right|}\right.}}{{\sqrt{5}}}=1$，解得$m=4±\sqrt{5}$，
∴直線l方程為$y=2x+4±\sqrt{5}$

點(diǎn)評 考查學(xué)生會把圓的方程變?yōu)闃?biāo)準(zhǔn)方程的能力，理解直線與圓相交時(shí)弦長的計(jì)算方法是關(guān)鍵．