Question

已知圓O的方程為x²+y²=16．
（1）求過點(diǎn)M（-4，8）的圓O的切線方程；
（2）過點(diǎn)N（3，0）作直線與圓O交于A、B兩點(diǎn)，求△OAB的最大面積以及此時(shí)直線AB的方程．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓的位置關(guān)系,圓的切線方程

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用,直線與圓

分析：（1）用分類討論求經(jīng)過圓外一點(diǎn)向圓引切線：①當(dāng)切線的斜率存在時(shí)②當(dāng)斜率不存在時(shí)求出直線的方程
（2）同樣利用分類討論三角形的面積最大時(shí)的直線方程．）①當(dāng)直線AB的斜率不存在時(shí)②當(dāng)直線AB的斜率存在時(shí)，運(yùn)算過程中利用到均值不等式知識(shí)．

解答： 解：（1）已知圓O的方程為x²+y²=16．圓心為O（0，0），半徑r=4，
①當(dāng)切線的斜率存在時(shí)，設(shè)過點(diǎn)M（-4，8）的切線方程為y-8=k（x+4），
即kx-y+4k+8=0
則

|4k+8|

k2+1

=4，解得k=-

3

4

于是切線方程為3x+4y-20=0
②當(dāng)斜率不存在時(shí)，x=-4也符合題意．
故過點(diǎn)M圓O的切線方程為3x+4y-20=0或x=-4
（2）①當(dāng)直線AB的斜率不存在時(shí)，S△ABC=3

7

，
②當(dāng)直線AB的斜率存在時(shí)，設(shè)直線AB的方程為y=k（x-3）
即kx-y-3k=0，圓心O（0，0）到直線AB的距離d=

3|k|

k2+1

線段AB的長度|AB|=2

16-d2

，
所以S△ABC=

1

2

|AB|d=d

16-d2

=

d2(16-d2)

≤

d2+(16-d2)

2

=8
當(dāng)且僅當(dāng)d²=8時(shí)取等號(hào)，此時(shí)

9k2

k2+1

=8，
解得k=±2

2

，
所以△OAB的最大面積為8，
此時(shí)直線AB的方程為y=±2

2

(x-3)
故答案為：（1）過點(diǎn)M圓O的切線方程為3x+4y-20=0或x=-4
（2）△OAB的最大面積為8，此時(shí)直線AB的方程為y=±2

2

(x-3)

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)：用分類討論求經(jīng)過圓外一點(diǎn)向圓引切線，直線與圓相切圓心到直線的距離等于半徑，用分類討論的方法求直線與圓相交，求面積，均值不等式在解析幾何中的應(yīng)用，直線的一般式及相關(guān)的運(yùn)算問題．