Question

在平面直角坐標系上，設不等式組

x＞0 y＞0 y≤-n(x-3)

（n∈N^*）所表示的平面區(qū)域為D_n，記D_n內的整點（即橫，縱坐標均為整數的點）的個數為a_n（n∈N^*）
（1）求a₁，a₂，a₃并猜想a_n的表達式；（不必證明）
（2）設數列{a_n}的前n項和為{S_n}數列{

1

Sn

}的前n項和為T_n，求使不等式T_n+a_n＞

k

17

對一切n∈N*都成立的最大正整數k的值．
（3）設n∈N^*，f（n）=

an+2 (n為奇數) an+1 (n為偶數)

問是否存在m∈N^*，使f（m+15）=5f（m）成立？若存在，求出m的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：歸納推理,簡單線性規(guī)劃

專題：等差數列與等比數列,不等式的解法及應用

分析：（1）分別求出n=1、2、3時的a₁，a₂，a₃的值，然后猜想a_n的表達式；
（2）由等差數列的前n項和求得S_n，再求出數列{

1

Sn

}的前n項和為T_n，求出T_n+a_n并判斷出其單調性后求出其最小值，由其最小值大于

k

17

求得k的值；
（3）把數列{a_n}的通項公式代入f（n）=

an+2 (n為奇數) an+1 (n為偶數)

，分m為奇數和偶數代入f（m+15）=5f（m）求解m的值．

解答： 解：（1）當n=1時，D₁為Rt△OAB₁的內部包括斜邊，
這時a₁=3．
當n=2時，D₂為Rt△OAB₂的內部包括斜邊，
這時a₂=6．
當n=3時，D₃為Rt△OAB₃的內部包括斜邊，
這時a₃=9．
…
由此可猜想a_n=3n；
（2）∵a_n=3n，
∴數列{a_n}是首項為3，公差為3的等差數列，
∴Sn=

n(3+3n)

2

=

3n(n+1)

2

．

1

Sn

=

2

3n(n+1)

=

2

3

(

1

n

-

1

n+1

)．
Tn=

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

=

2

3

[(1-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)+…+(

1

n

-

1

n+1

)]=

2

3

(1-

1

n+1

)．
∴Tn+an=

2

3

[1-

1

n+1

]+3n．
∴{T_n+a_n}單調遞增．
則(Tn+an)min=T1+a1=

1

3

+3=

10

3

．
由Tn+an＞

k

17

對一切n∈N^*都成立得到

10

3

＞

k

17

，k＜

170

3

．
∴存在最大正整數k的值為56；
（3）f（n）=

an+2 (n為奇數) an+1 (n為偶數)

=

3n+2，n是奇數 3n+1，n是偶數

．
①當m為奇數時，m+15為偶數，
由f（m+15）=5f（m），得3（m+15）+1=5（3m+2），解得m=3．
②當m為偶數時，m+15為奇數，
由f（m+15）=5f（m），得3（m+15）+2=5（3m+1），解得m=

7

2

（舍）．
∴存在m=3使得f（m+15）=5f（m）成立．

點評：本題考查了簡單的線性規(guī)劃，考查了等差數列的通項公式，訓練了數列不等式的解法，是壓軸題．