Question

已知函數(shù)f（x）=

1

2

x²-alnx（a＞0），若存在x₁，x₂∈（1，e），且x₁＜x₂，使得 f（x₁）=f（x₂）=0，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：綜合題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：由題意，f（x）=

1

2

x²-alnx=0在（1，e）上有解，可得a=

1 2 x2

lnx

，求出右邊函數(shù)的值域，即可求出實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答： 解：由題意，f（x）=

1

2

x²-alnx=0在（1，e）上有解，
∴a=

1 2 x2

lnx

，
令y=

1 2 x2

lnx

，y′=

x(lnx- 1 2 )

ln2x

∴函數(shù)在（1，

e

）上單調(diào)遞減，在（

e

，e）上單調(diào)遞增，
∴x=

e

時(shí)，函數(shù)取得最小值e，
又x=e時(shí)，y=

1

2

e²，
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是[e，

1

2

e²）．
故答案為：[e，

1

2

e²）．

點(diǎn)評：本題考查導(dǎo)數(shù)知識的運(yùn)用，考查參數(shù)的分離，考查函數(shù)的單調(diào)性與值域，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．