Question

7．設(shè)函數(shù)f（x）在其定義域D上的導(dǎo)函數(shù)為f′（x），如果存在實(shí)數(shù)a和函數(shù)h（x），其中h（x）對(duì)任意的x∈D，都有h（x）＞0，使得f′（x）=h（x）（x²-ax+1），則稱函數(shù)f（x）具有性質(zhì)ω（a），給出下列四個(gè)函數(shù)：
①f（x）=$\frac{1}{3}$x³-x²+x+1；       ②f（x）=lnx+$\frac{4}{x+1}$；
③f（x）=（x²-4x+5）e^x；     ④f（x）=$\frac{{x}^{2}+x}{2x+1}$
其中具有性質(zhì)ω（2）的函數(shù)為（　�。�

• A． ①②③
• B． ①②④
• C． ②③④
• D． ①③④

Answer 1

分析 因?yàn)閍=2，所以先求出函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)f′（x），然后將其配湊成f′（x）=h（x）（x²-2x+1）這種形式，分別求出h（x），然后確定h（x）是否滿足對(duì)任意的x∈D都有h（x）＞0．

解答 解：①f'（x）=x²-2x+1，若f′（x）=h（x）（x²-2x+1），即x²-2x+1=h（x）（x²-2x+1），
所以h（x）=1＞0，滿足條件，所以①具有性質(zhì)ω（2）．
②函數(shù)f（x）=lnx++$\frac{4}{x+1}$的定義域?yàn)椋?，+∞）．f′（x）=$\frac{1}{x}$-$\frac{4}{{（x+1）}^{2}}$=$\frac{{（x+1）}^{2}-4x}{x{•（x+1）}^{2}}$=$\frac{1}{x{•（x+1）}^{2}}$•（x²-2x+1），
所以h（x）=$\frac{1}{x{•（x+1）}^{2}}$，當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，h（x）＞0，所以②具有性質(zhì)ω（2）．
③f'（x）=（2x-4）e^x+（x²-4x+5）e^x=（x²-2x+1）e^x，所以h（x）=e^x，因?yàn)閔（x）＞0，所以③具有性質(zhì)ω（2）．
④f′（x）=$\frac{（2x+1）（2x+1）-2{（x}^{2}+1）}{{（2x+1）}^{2}}$=$\frac{{2x}^{2}+2x+1}{{（2x+1）}^{2}}$，若f′（x）=$\frac{{2x}^{2}+2x+1}{{（2x+1）}^{2}•{（x}^{2}-2x+1）}$•（x²-2x+1），
則h（x）=$\frac{{2x}^{2}+2x+1}{{（2x+1）}^{2}•{（x}^{2}-2x+1）}$，因?yàn)閔（1）不存在，所以不滿足對(duì)任意的x∈D都有h（x）＞0，所以④不具有性質(zhì)ω（2），
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題的考點(diǎn)是導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算以及通過(guò)條件求h（x），本題的關(guān)鍵是通過(guò)關(guān)系式確定函數(shù)h（x）的表達(dá)式，然后判斷條件是否成立，屬于中檔題．