Question

3．已知函數(shù)f（x）=e^x（sinx+a）在R上單調遞增，則實數(shù)a的取值范圍是$a≥\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 求函數(shù)的導數(shù)，要使函數(shù)單調遞增，則f′（x）≥0立，然后求出實數(shù)a的取值范圍．

解答 解：因為f（x）=e^x（sinx+a），所以f′（x）=e^x（sinx+a+cosx）．
要使函數(shù)單調遞增，則f′（x）≥0成立．
即sinx+a+cosx≥0恒成立．
所以a≥-sinx-cosx，
因為-sinx-cosx=-$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$）
所以-$\sqrt{2}$≤-sinx-cosx≤$\sqrt{2}$，
所以$a≥\sqrt{2}$，
故答案為：$a≥\sqrt{2}$．

點評 本題主要考查導數(shù)的基本運算以及利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性，注意當函數(shù)單調遞增時，f'（x）≥0恒成立．