Question

3．已知函數(shù)f（x）=e^x（sinx+a）在R上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是$a≥\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，要使函數(shù)單調(diào)遞增，則f′（x）≥0立，然后求出實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答 解：因?yàn)閒（x）=e^x（sinx+a），所以f′（x）=e^x（sinx+a+cosx）．
要使函數(shù)單調(diào)遞增，則f′（x）≥0成立．
即sinx+a+cosx≥0恒成立．
所以a≥-sinx-cosx，
因?yàn)?sinx-cosx=-$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$）
所以-$\sqrt{2}$≤-sinx-cosx≤$\sqrt{2}$，
所以$a≥\sqrt{2}$，
故答案為：$a≥\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查導(dǎo)數(shù)的基本運(yùn)算以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，注意當(dāng)函數(shù)單調(diào)遞增時(shí)，f'（x）≥0恒成立．