Question

8．測量馬口魚性成熟時重量，從大量馬口魚中隨機抽取100尾作為樣本，測出它們的重量（單位：克），重量分組區(qū)間為（5，15]，（15，25]，（25，35]，（35，45]，由此得到重量樣本的頻率分布直方圖，如圖．
（1）求a的值；
（2）若重量在（25，35]，（35，45]中采用分層抽樣方法抽出8尾作為特別實驗，那么在（35，45]中需取出幾尾？
（3）從大量馬口魚中機抽取3尾，其中重量在（5，15]內(nèi)的尾數(shù)為ξ，求ξ的分布列和數(shù)學期望．

Answer 1

分析 （1）利用頻率分布直方圖，概率和為1，求解即可．
（2）結(jié)合頻率分布直方圖，利用分層抽樣求解即可．
（3）求出重量在（5，15]內(nèi)的尾數(shù)為ξ的可能值，求出概率得到分布列，然后求解期望即可．

解答 解：（1）由題意，得（0.02+0.032+x+0.018）×10=1，
解得x=0.03．…（2分）
（2）（25，35]，（35，4]頻數(shù)分別30個和18個，按分層抽樣知 （35，45]中取$8×\frac{18}{48}$=3個…（4分）
（3）利用樣本估計總體，馬口魚重量在（5，15]內(nèi)性成熟的概率為0.2，則ξ：B（3，$\frac{1}{5}$）．
ξ的取值為0，1，2，3，…（6分）
P（ξ=0）=${C}_{3}^{0}（\frac{4}{5}）^{3}$=$\frac{64}{125}$，
P（ξ=1）=${C}_{3}^{1}×\frac{1}{5}×{（\frac{4}{5}）}^{2}$=$\frac{48}{125}$，
P（ξ=2）=${C}_{3}^{2}×\frac{4}{5}×{（\frac{1}{5}）}^{2}$=$\frac{12}{125}$，
P（ξ=3）=${C}_{3}^{3}{（\frac{1}{5}）}^{3}$=$\frac{1}{125}$．…（10分）

ξ	0	1	2	3
P	$\frac{64}{125}$	$\frac{48}{125}$	$\frac{12}{125}$	$\frac{1}{125}$

∴ξ的分布列為：--------------11分
∴Eξ=0×$\frac{64}{125}$+1×$\frac{48}{125}$+2×$\frac{12}{125}$+3×$\frac{1}{125}$=$\frac{3}{5}$．…（12分）
（或者Eξ=3×$\frac{1}{5}$=$\frac{3}{5}$）

點評 本題考查頻率分布直方圖的應用，分布列以及期望的求法，考查分析問題解決問題的能力．