Question

19．設(shè)一直棱柱的底面是邊長為2$\sqrt{2}$正方形，棱柱的頂點(diǎn)都在同一個球面上，且這個球面的表面積為64π，則該四棱柱的對角線與底面成的角是（　　）

• A． 30°
• B． 38°
• C． 45°
• D． 60°

Answer 1

分析 由已知求出直棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面ABCD是邊長為2$\sqrt{2}$正方形，BD=4，BD₁=2R=8，∠D₁BD是該四棱柱的對角線與底面成的角，由此能求出結(jié)果．

解答 解：∵這個球面的表面積為64π，
∴4πR²=64π，解得R=4，
∵直棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面ABCD是邊長為2$\sqrt{2}$正方形，棱柱的頂點(diǎn)都在同一個球面上，
∴BD=$\sqrt{（2\sqrt{2}）^{2}+（2\sqrt{2}）^{2}}$=4，BD₁=2R=8，
∵DD₁⊥底面ABCD，∴∠D₁BD是該四棱柱的對角線與底面成的角，
∵cos∠D₁BD=$\frac{BD}{B{D}_{1}}$=$\frac{4}{8}$=$\frac{1}{2}$，
∴∠D₁BD=60°．
∴該四棱柱的對角線與底面成的角是60°．
故選：D．

點(diǎn)評 本題考查線面角的大小的求法，是基礎(chǔ)題，解題時要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．