Question

16．設(shè)集合A={x|y=$\sqrt{lo{g}_{0.5}\frac{x+1}{4}}$，B={y|y=（$\frac{1}{2}$）^x，且x≤-1}
（Ⅰ）求集合C={x|x∈A∪B，且x∉A∩B}；
（Ⅱ）設(shè)集合D={x|2-a＜x＜3a}，滿足B∪D=B，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)條件求出集合的等價(jià)條件，結(jié)合集合的基本運(yùn)算進(jìn)行求解即可．
（Ⅱ）條件若B∪D=B，等價(jià)為D⊆B，根據(jù)集合關(guān)系進(jìn)行求解即可．

解答 解：（Ⅰ）由$lo{g}_{0.5}\frac{x+1}{4}$≥0，得0＜$\frac{x+1}{4}$≤1，即-1＜x≤3，即A=（-1，3]，
B={y|y=（$\frac{1}{2}$）^x，且x≤-1}={y|y=（$\frac{1}{2}$）^x≥2}=[2，+∞），
則A∪B=（-1，+∞），A∩B=[2，3]，
則C={x|x∈A∪B，且x∉A∩B}=（-1，2）∪（3，+∞）．
（Ⅱ）若B∪D=B，則D⊆B，
若2-a≥3a，即a≤$\frac{1}{2}$，此時(shí)D=∅，滿足條件．
若a＞$\frac{1}{2}$，若滿足條件，則2-a≥2，即a≤0，此時(shí)不成立，
綜上實(shí)數(shù)a的取值范圍是a≤$\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評 本題主要考查集合的基本運(yùn)算，以及集合關(guān)系的應(yīng)用，求出集合的等價(jià)條件是解決本題的關(guān)鍵．