Question

6．已知函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）+k（A＞0，k≠0，ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$），并且最高點(diǎn)為（1，2），相鄰的最低點(diǎn)為（3，0）．
（1）求f（x）的解析式及f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）求f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2016）的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)條件分別求出A，ω和φ的值，即可求函數(shù)f（x）的解析式，根據(jù)三角函數(shù)的單調(diào)性即可求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間．
（2）函數(shù)f（n）=sin（$\frac{π}{2}$n）+1（n∈Z）的周期為4，求得f（1）+f（2）+…+f（4）的值，可得要求式子的值．

解答 解：（1）設(shè)f（x）的最小正周期為T，得T=2（ 3-1）=4，
由T=$\frac{2π}{ω}$=4，得ω=$\frac{π}{2}$，…（2分）
又 A+k=2，且k-A=0，解得A=1，k=1     …（5分）
由sin（$\frac{π}{2}×$1+φ）+1=2，解得：$\frac{π}{2}$+φ=2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，
得φ=2kπ，又|φ|＜$\frac{π}{2}$，
可得當(dāng)k=0時(shí)，φ=0，
則f（x）=sin（$\frac{π}{2}$x）+1，…（8分）
由2kπ-$\frac{π}{2}$≤$\frac{π}{2}$x≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，解得f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為：[4k-1，4k+1]，k∈Z，…（10分）
（說明：k∈Z條件只要有一個(gè)不扣分，沒有扣1分）
（2）∵f（x）=sin（$\frac{π}{2}$x）+1，
∴f（1）=2；
f（2）=1；
f（3）=0；
f（4）=1；
…
函數(shù)f（n）=sin（$\frac{π}{2}$n）+1（n∈Z）的周期為4，那么f（1）+f（2）+…+f（4）=4，
故f（1）+f（2）+…+f（2016）=504×[f（1）+f（2）+…+f（4）]=2016．…（14分）

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查三角函數(shù)的解析式的求解以及三角函數(shù)單調(diào)性的求解，考查了正弦函數(shù)的周期性，根據(jù)條件求出A，ω和φ的值是解決本題的關(guān)鍵，屬于中檔題．