Question

19．已知函數(shù)f（x）=2lnx+a（x-$\frac{1}{x}$）．
（1）若函數(shù)f（x）在（1，f（1））處的切線方程為y=4x-4，求實(shí)數(shù)a的值；
（2）若（1-x）f（x）≥0，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求得切線的斜率，解方程可得a=1；
（2）討論當(dāng)x≥1時(shí)，f（x）≤0即有2lnx+a（x-$\frac{1}{x}$）≤0恒成立，當(dāng)0＜x≤1時(shí)，f（x）≥0即有2lnx+a（x-$\frac{1}{x}$）≥0恒成立，通過函數(shù)的單調(diào)性的判斷，以及參數(shù)分離，即可得到a的范圍．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=2lnx+a（x-$\frac{1}{x}$）的導(dǎo)數(shù)為
f′（x）=$\frac{2}{x}$+a（1+$\frac{1}{{x}^{2}}$），
由題意可得f′（1）=2+2a=4，
解得a=1；
（2）若（1-x）f（x）≥0，
則當(dāng)x≥1時(shí)，f（x）≤0即有2lnx+a（x-$\frac{1}{x}$）≤0恒成立，
由f（1）=0，可得f（x）在[1，+∞）遞減，即f′（x）≤0恒成立，
即為$\frac{a{x}^{2}+2x+a}{x}$≤0在x≥1恒成立，則-a≥$\frac{2x}{{x}^{2}+1}$=$\frac{2}{x+\frac{1}{x}}$，
由x+$\frac{1}{x}$≥2當(dāng)且僅當(dāng)x=1取得等號(hào)，則$\frac{2}{x+\frac{1}{x}}$≤1，
則-a≥1解得a≤-1；
當(dāng)0＜x≤1時(shí)，f（x）≥0即有2lnx+a（x-$\frac{1}{x}$）≥0恒成立，
由f（1）=0，可得f（x）在（0，1]遞減，即f′（x）≤0恒成立，
即為$\frac{a{x}^{2}+2x+a}{x}$≤0在0＜x≤1恒成立，則-a≥$\frac{2x}{{x}^{2}+1}$=$\frac{2}{x+\frac{1}{x}}$，
由x+$\frac{1}{x}$≥2當(dāng)且僅當(dāng)x=1取得等號(hào)，則$\frac{2}{x+\frac{1}{x}}$≤1，
則-a≥1解得a≤-1．
綜上可得a的范圍是（-∞，-1]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線的斜率和單調(diào)性，考查分類討論的思想方法和函數(shù)的單調(diào)性的運(yùn)用，屬于中檔題．