Question

在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率e=

6

3

，且橢圓C上的點到點Q（0，2）的距離的最大值為3．
（1）求橢圓C的方程；
（2）在橢圓C上，是否存在點M（m，n），使得直線l：mx+ny=1與圓O：x²+y²=1相交于不同的兩點A，B，且△OAB的面積最大？若存在，求出點M的坐標及對應的△OAB的面積；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題,橢圓的標準方程

專題：圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（1）由橢圓的離心率得到a²=3b²，設出橢圓上點P的坐標，寫出點到直線的距離，然后對b分類求出|PQ|的最大值，由最大值等于3求解b的值，進一步得到a的值，則橢圓方程可求；
（2）求出圓心到直線l的距離，由勾股定理得到弦長，代入三角形的面積公式，把面積用含有d的代數式表示，配方后求出面積的最大值并求得使面積最大時的d值，從而得到m，n的值，則點M的坐標可求．

解答： 解：（1）∵e=

6

3

，
∴

c2

a2

=

2

3

，于是a²=3b²．
設橢圓C上任一點P（x，y），
則|PQ|2=x2+(y-2)2=a2(1-

y2

b2

)+(y-2)2=-2y2-4y+4+3b2（-b≤y≤b）．
當0＜b＜1時，|PQ|²在y=-b時取到最大值，且最大值為b²+4b+4，
由b²+4b+4=9解得b=1，與假設0＜b＜1不符合，舍去．
當b≥1時，|PQ|²在y=-1時取到最大值，且最大值為3b²+6，
由3b²+6=9解得b²=1．于是a²=3，橢圓C的方程是

x2

3

+y2=1．
（2）圓心到直線l的距離為d=

1

m2+n2

，弦長AB=2

1-d2

，
∴△OAB的面積為S=

1

2

AB•d=d

1-d2

，
于是S2=d2(1-d2)=-(d2-

1

2

)2+

1

4

．
而M（m，n）是橢圓上的點，
∴

m2

3

+n2=1，即m²=3-3n²，
于是d2=

1

m2+n2

=

1

3-2n2

，而-1≤n≤1，
∴0≤n²≤1，1≤3-2n²≤3，
∴

1

3

≤d2≤1，
于是當d2=

1

2

時，S²取到最大值

1

4

，此時S取到最大值

1

2

，
此時n2=

1

2

，m2=

3

2

．
綜上所述，橢圓上存在四個點(

6

2

，

2

2

)、(-

6

2

，

2

2

)、(

6

2

，-

2

2

)、(-

6

2

，-

2

2

)，
使得直線與圓相交于不同的兩點A、B，且△OAB的面積最大，且最大值為

1

2

．

點評：本題考查了橢圓方程的求法，考查了函數取得最值的條件，體現(xiàn)了分類討論的數學思想方法，訓練了利用配方法求函數的最值，是壓軸題．