Question

13．已知數(shù)列{a_n}的首項a₁=$\frac{3}{5}$，a_n+1=$\frac{3{a}_{n}}{2{a}_{n}+1}$．
（1）求證：數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}}$-1}為等比數(shù)列．
（2）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（3）是否存在互不相等的正整數(shù)m，s，n，使m，s，n成等差數(shù)列，且a_m-1，a_s-1，a_n-1成等比數(shù)列，如果存在，請給出證明，如果不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）把已知數(shù)列遞推式取倒數(shù)，利用構(gòu)造法即可證明數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}}$-1}為等比數(shù)列；
（2）由（1）中的等比數(shù)列，求出通項公式，即可得到數(shù)列{a_n}的通項公式；
（3）假設(shè)存在正整數(shù)m，s，n，根據(jù)等比數(shù)列性質(zhì)得出（a_m-1）•（a_n-1）=（a_s-1）²并化簡，再根據(jù)a+b≥2$\sqrt{ab}$，確定是否存在．

解答 （1）證明：∵a_n+1=$\frac{3{a}_{n}}{2{a}_{n}+1}$，∴$\frac{1}{{a}_{n+1}}=\frac{2}{3}+\frac{1}{3{a}_{n}}$，則$\frac{1}{{a}_{n+1}}-1=\frac{1}{3}（\frac{1}{{a}_{n}}-1）$，
∵$\frac{1}{{a}_{1}}-1=\frac{5}{3}-1=\frac{2}{3}≠0$，∴$\frac{1}{{a}_{n}}-1$≠0（n∈N^*），
∴數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}}$-1}為等比數(shù)列；
（2）解：由（1）知，數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}}$-1}為等比數(shù)列，
∴$\frac{1}{{a}_{n}}-1=\frac{2}{3}•（\frac{1}{3}）^{n-1}$，即$\frac{1}{{a}_{n}}=2•\frac{1}{{3}^{n}}+1=\frac{{3}^{n}+2}{{3}^{n}}$，
∴${a}_{n}=\frac{{3}^{n}}{{3}^{n}+2}$；
（3）解：假設(shè)存在，則m+n=2s，（a_m-1）•（a_n-1）=（a_s-1）²，
∵${a}_{n}=\frac{{3}^{n}}{{3}^{n}+2}$，∴（$\frac{{3}^{n}}{{3}^{n}+2}$-1）•（$\frac{{3}^{m}}{{3}^{m}+2}$-1）=$（\frac{{3}^{s}}{{3}^{s}+2}-1）^{2}$．
化簡得：3^m+3ⁿ=2•3^s，
∵$2•{3}^{s}={3}^{m}+{3}^{n}≥2\sqrt{{3}^{m}•{3}^{n}}=2\sqrt{{3}^{m+n}}$，當且僅當m=n時等號成立．
又m，n，s互不相等，∴不存在互不相等的正整數(shù)m，s，n，滿足m，s，n成等差數(shù)列，
且a_m-1，a_s-1，a_n-1成等比數(shù)列．

點評 本題考查了等比數(shù)列的性質(zhì)、前n項和的求法以及不等式的解法，綜合性很強，注意a+b≥2$\sqrt{ab}$運用，屬有一定難度題目．