Question

15．已知不等式組$\left\{\begin{array}{l}{x+y-4≤0}\\{x-4y+1≤0}\end{array}\right.$所表示的平面區(qū)域為M，不等式組$\left\{\begin{array}{l}{2x-3y-3≥0}\\{2x+2y-3≤0}\end{array}\right.$所表示的平面區(qū)域為N，若M中存在點在圓C：（x-3）²+（y-1）²=r²（r＞0）內，但N中不存在點在圓C內．則r的取值范圍是（　�。�

• A． （0，$\frac{\sqrt{13}}{2}$]
• B． （$\frac{\sqrt{13}}{2}$，$\sqrt{17}$）
• C． （0，$\sqrt{17}$）
• D． （0，$\frac{5\sqrt{2}}{4}$）

Answer 1

分析 作出不等式組對應的平面區(qū)域，利用區(qū)域與圓的位置關系，轉化為點到直線的距離問題進行求解即可．

解答 解：作出不等式組對應的平面區(qū)域如圖，圓心坐標C（3，1），在直線x+y-4=0上，則M一定存在點在圓C內，
只要保證N中不存在點在圓C內，即可，
當圓和直線2x+2y-3=0相切時，圓和區(qū)域N開始有交點，
此時圓心C到直線2x+2y-3=0的距離d=$\frac{|2×3+2×1-3|}{\sqrt{4+4}}=\frac{5}{2\sqrt{2}}$═$\frac{6}{\sqrt{13}}$=$\frac{5\sqrt{2}}{4}$，
若N中不存在點在圓C內，
則0＜r＜$\frac{5\sqrt{2}}{4}$，
故選：D．

點評 本題主要考查線性規(guī)劃的應用以及點到直線的距離公式的計算，根據(jù)條件利用數(shù)形結合轉化點到直線的距離問題是解決本題的關鍵．