Question

7．函數(shù)y=sin²x+2cosx+1的值域是[-1，3]．

Answer 1

分析 本題中含有兩個名的三角函數(shù)，需要統(tǒng)一，可以借助三角部分存在的恒等式sin²x+cos²x=1轉(zhuǎn)化．

解答 解：y=sin²x+2cosx+1=1-cos²x+2cosx+1=-（cosx-1）²+3，
∵-1≤cosx≤1，
∴-2≤cosx-1≤0，
兩邊平方，得0≤（cosx-1）²≤4，∴-4≤-（cosx-1）²≤0，
∴-1≤-（cosx-2）²+3≤3，
∴該函數(shù)的值域?yàn)閇-1，3]．
故答案為：[-1，3]．

點(diǎn)評 1．函數(shù)的值域是由其對應(yīng)法則和定義域共同決定的，其類型依解析式的特點(diǎn)分可分三類：
（1）求常見函數(shù)值域；
（2）求由常見函數(shù)復(fù)合而成的函數(shù)的值域；
（3）求由常見函數(shù)作某些“運(yùn)算”而得函數(shù)的值域
2．通常求函數(shù)值域如下方法：
①直接法；  ②配方法；   ③逆求法（反求法）；  ④換元法；  ⑤三角有界法；
⑥基本不等式法；   ⑦單調(diào)性法；   ⑧數(shù)形結(jié)合；  ⑨導(dǎo)數(shù)法