Question

9．在Rt△ABC中，∠C=$\frac{π}{2}$，AC=1，BC=$\sqrt{3}$，D是AB邊上的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)BD=x，把△BDC沿DC翻折為△B′DC，若存在某個(gè)位置，使得異面直線B′C與AD所成的角為$\frac{π}{3}$，則實(shí)數(shù)x的取值范圍是（　�。�

• A． 0＜x＜$\frac{3-\sqrt{3}}{2}$
• B． $\frac{3-\sqrt{3}}{2}$＜x＜2
• C． 0＜x＜$\frac{2-\sqrt{3}}{2}$
• D． $\frac{2-\sqrt{2}}{2}$＜x＜2

Answer 1

分析 把△BDC沿DC翻折，形成了一個(gè)圓錐．過(guò)點(diǎn)C作CE∥AB，則AB與B′C所成的角等于CE與B′C所成的角，設(shè)AB與BC所成的角的大小為θ，設(shè)∠BCD=α．可得30^°＜θ＜2α+30^°，2α+30^°＞60^°，α＞15^°，∠BDC＜135^°．△BCD中，利用正弦定理可得$\frac{BC}{sin∠BDC}$=$\frac{BD}{sinα}$，可得$\frac{x}{\sqrt{3}}$=$\frac{sinα}{sin∠BDC}$＞$\frac{sin1{5}^{°}}{sin13{5}^{°}}$，即可得出．

解答 解：把△BDC沿DC翻折，形成了一個(gè)圓錐．過(guò)點(diǎn)C作CE∥AB，則AB與B′C所成的角等于CE與B′C所成的角，設(shè)AB與BC所成的角的大小為θ，設(shè)∠BCD=α．
則30^°＜θ＜2α+30^°，2α+30^°＞60^°，∴α＞15^°，∴∠BDC＜135^°．
△BCD中，$\frac{BC}{sin∠BDC}$=$\frac{BD}{sinα}$，∴$\frac{x}{\sqrt{3}}$=$\frac{sinα}{sin∠BDC}$＞$\frac{sin1{5}^{°}}{sin13{5}^{°}}$=$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$，
∴x＞$\frac{3-\sqrt{3}}{2}$，又x＜2．
∴$\frac{3-\sqrt{3}}{2}$＜x＜2．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了空間位置關(guān)系、正弦定理、空間想象能力、不等式的性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．