Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD為直角梯形，AD∥BC，∠ADC=90°，BC=

1

2

AD=1，PD=CD=2，Q為AD的中點(diǎn)，M為PC的中點(diǎn)．
（Ⅰ）證明：PA∥平面BMQ；
（Ⅱ）求三棱錐A-BMQ的體積．

Answer 1

考點(diǎn)：棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積,直線與平面平行的判定

專題：計(jì)算題,證明題,空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）連接AC交BQ于N，連接MN，由MN∥PA證明PA∥平面BMQ．（2）取CD中點(diǎn)K，連接MK，可證MK⊥底面ABCD，從而求出其體積．

解答： 解：（1）證明：連接AC交BQ于N，連接MN，
∵∠ADC=90°，Q為AD的中點(diǎn)，
∴N為AC的中點(diǎn)，
∵M(jìn)N為△PAC的中位線，
故MN∥PA，
又∵PA?平面BMQ，MN?平面BMQ，
∴PA∥平面BMQ．
（2）取CD中點(diǎn)K，連接MK，
∴MK∥PD且MK=

1

2

PD=1，
又∵PD⊥底面ABCD，
∴MK⊥底面ABCD，
又∵BC=

1

2

AD=1，PD=CD=2，
∴AQ=1，BQ=2，
∴V_A-BMQ=V_M-ABQ=

1

3

•

1

2

•AQ•BQ•MK=

1

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了線面平行的判定定理，及幾何體體積的求法，難點(diǎn)在于找到線線平行，及找到合適的底面與高以簡(jiǎn)化運(yùn)算．