【題目】(本小題滿分12分)

在如圖所示的多面體中,平面,,,的中點(diǎn).

(1)求證:;

(2)求平面與平面所成銳二面角的余弦值.

【答案】1) 解法1

證明:平面,平面

,

平面,

平面. …………2

過(guò),則平面.

平面,

. …………4

四邊形平行四邊形,

,又

四邊形為正方形,

, ……………6

平面,平面,

平面. ………………………7

平面,

. ………………………8

2平面,平面

平面平面

由(1)可知

平面

平面

……………………9

的中點(diǎn),連結(jié),

四邊形是正方形,

平面,平面

平面

Z|X|X|K]

是二面角的平面角, ………………………12

由計(jì)算得

………………………13

平面與平面所成銳二面角的余弦值為.………………………14

解法2

平面,平面,平面,

,

,

兩兩垂直. ……………………2

以點(diǎn)E為坐標(biāo)原點(diǎn),分別為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.

由已知得,0,02),2,0,0),

2,4,0),0,30),02,2),

2,2,0. …………………………4

,,………6

, ………7

. …………………………8

2)由已知得是平面的法向量. ………………………9

設(shè)平面的法向量為,

,即,令,. ……………12

設(shè)平面與平面所成銳二面角的大小為

…………………………13

平面與平面所成銳二面角的余弦值為. …………………………14

【解析】

(1)證明EB,EF,EA兩兩垂直,以點(diǎn)E為坐標(biāo)原點(diǎn),EB,EF,EA分別為x,y,z軸,建立空間直角坐標(biāo)系用坐標(biāo)表示點(diǎn)與向量,證明

,可得BD⊥EG;
(2)由已知得是平面DEF的法向量,求出平面DEG的法向量

,利用向量的夾角公式,可求平面DEG與平面DEF所成銳二面角的余弦值.

(Ⅰ),,,

,

BE,EF,AE兩兩垂直.

以點(diǎn)E為坐標(biāo)原點(diǎn),EB,EF,EA分別為x,y,z軸,

建立空間直角坐標(biāo)系,

由已知得,,,,,,

,

(Ⅱ)由已知得是平面DEF的法向量,

設(shè)平面的DEG法向量為,

,

,得,

設(shè)平面DEG與平面DEF所成銳二面角的大小為θ,

平面DEG與平面DEF所成銳二面角的余弦值為

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A. B. C. D.

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經(jīng)常使用免費(fèi)WiFi

偶爾或不用免費(fèi)WiFi

合計(jì)

45歲及以下

70

30

100

45歲以上

60

40

100

合計(jì)

130

70

200

1)根據(jù)以上數(shù)據(jù),判斷是否有的把握認(rèn)為市使用免費(fèi)的情況與年齡有關(guān);

2)將頻率視為概率,現(xiàn)從該市歲以上的市民中用隨機(jī)抽樣的方法每次抽取人,共抽取次.記被抽取的人中偶爾或不用免費(fèi)的人數(shù)為,若每次抽取的結(jié)果是相互獨(dú)立的,求的分布列,數(shù)學(xué)期望和方差

附:,其中

0.15

0.10

0.05

0.025

2.072

2.706

3.841

5.024

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