Question

13．已知函數(shù)f（x）=x²-2axlnx-2a+1（a∈R）．
（1）若a=2，求曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程；
（2）若f（x）≥0對(duì)任意 在x∈[1，+∞）恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)a=2時(shí)，化簡(jiǎn)f（x）=x²-4xlnx-3，求出f'（x），得到切線斜率，求出切點(diǎn)坐標(biāo)，然后求解曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程．
（2）不等式f（x）≥0等價(jià)于不等式$x-\frac{2a-1}{x}-2alnx≥0$，記$g（x）=x-\frac{2a-1}{x}-2alnx$，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求出極值點(diǎn)，通過①當(dāng)a≤1時(shí)，判斷單調(diào)性，求出最小值，②當(dāng)a＞1，求出函數(shù)的最小值，即可推出實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答 解：（1）當(dāng)a=2時(shí)，f（x）=x²-4xlnx-3，則f'（x）=2x-4（lnx+1）=2x-4-4lnx，故切線斜率k=f'（1）=-2，又因?yàn)榍悬c(diǎn)為（1，-2），所以曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程為y+2=-2（x-1），即y=-2x．
（2）不等式f（x）≥0等價(jià)于不等式$x-\frac{2a-1}{x}-2alnx≥0$，
記$g（x）=x-\frac{2a-1}{x}-2alnx$，則$g'（x）=1+\frac{2a-1}{x^2}-\frac{2a}{x}=\frac{{{x^2}-2ax+2a-1}}{x^2}=\frac{{[{x-（{2a-1}）}]（{x-1}）}}{x^2}$，令g'（x）=0，得x=2a-1或x=1．
①當(dāng)2a-1≤1，即a≤1時(shí)，g'（x）≥0，所以g（x）在[1，+∞）單調(diào)遞增，
所以g（x）_min=g（1）=2-2a≥0，解得a≤1，此時(shí)a≤1．
②當(dāng)2a-1＞1時(shí)，即a＞1，x∈（1，2a-1）時(shí)，g'（x）＜0，x∈（2a-1，+∞）時(shí)，g'（x）＞0，所以
函數(shù)g（x）在（1，2a-1）上單調(diào)遞減，在（2a-1，+∞）上單調(diào)遞增，于是g（x）_min=g（2a-1）＜g（1）=2-2a＜0，不合題意，舍去．
綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍為（-∞，1]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)的極值最值的求法，構(gòu)造法的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力．