Question

7．若x∈[4，+∞），求函數(shù)y=$\frac{{x}^{2}-2x+3}{x+1}$的值域．

Answer 1

分析 化簡(jiǎn)：y=$\frac{{x}^{2}-2x+3}{x+1}$=$\frac{（x+1）^{2}-4x+2}{x+1}$=x+1+$\frac{6}{x+1}$-4，從而可得y=$\frac{{x}^{2}-2x+3}{x+1}$在[4，+∞）上是增函數(shù)，從而解得．

解答 解：y=$\frac{{x}^{2}-2x+3}{x+1}$=$\frac{（x+1）^{2}-4x+2}{x+1}$=x+1+$\frac{6}{x+1}$-4，
∵x+1+$\frac{6}{x+1}$≥2$\sqrt{6}$，（當(dāng)且僅當(dāng)x+1=$\frac{6}{x+1}$，即x=$\sqrt{6}$-1時(shí)，等號(hào)成立），
又∵x∈[4，+∞），
∴$\sqrt{6}$-1取不到，
可判斷y=$\frac{{x}^{2}-2x+3}{x+1}$在[4，+∞）上是增函數(shù)，
故y≥$\frac{16-8+3}{5}$=$\frac{11}{5}$，
故函數(shù)y=$\frac{{x}^{2}-2x+3}{x+1}$的值域?yàn)閇$\frac{11}{5}$，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性的判斷及對(duì)勾函數(shù)的應(yīng)用，同時(shí)考查了函數(shù)的值域的求法．