Question

20．已知橢圓C₁的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，兩焦點(diǎn)分別為雙曲線(xiàn)C₂：$\frac{{x}^{2}}{2}$-y²=1的頂點(diǎn)，直線(xiàn)x+$\sqrt{2}$y=0與橢圓C₁交于A，B兩點(diǎn)，且點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-$\sqrt{2}$，1），點(diǎn)P是橢圓C₁上異于點(diǎn)A，B的任意一點(diǎn)，點(diǎn)Q滿(mǎn)足$\overrightarrow{AQ}$•$\overrightarrow{AP}$=0，$\overrightarrow{BQ}$•$\overrightarrow{BP}$=0，且A，B，Q三點(diǎn)不共線(xiàn)．
（Ⅰ）求橢圓C₁的方程；
（Ⅱ）證明：點(diǎn)Q在曲線(xiàn)2x²+y²=5上．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出雙曲線(xiàn)的頂點(diǎn)，可得橢圓的c=$\sqrt{2}$，由橢圓定義，可得a=2，進(jìn)而得到b，則橢圓方程即可得到；
（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)Q（x，y），點(diǎn)P（x₁，y₁），由對(duì)稱(chēng)可得B，由向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示，可得方程，結(jié)合P在橢圓上，化簡(jiǎn)整理，討論P(yáng)與A，B重合，即可得到Q滿(mǎn)足方程2x²+y²=5．

解答 解：（Ⅰ）∵雙曲線(xiàn)C₂：$\frac{{x}^{2}}{2}$-y²=1的頂點(diǎn)為F₁（-$\sqrt{2}$，0），F(xiàn)₂（$\sqrt{2}$，0），
∴橢圓C₁兩焦點(diǎn)分別為F₁（-$\sqrt{2}$，0），F(xiàn)₂（$\sqrt{2}$，0），
設(shè)橢圓C₁方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），
∵橢圓C₁過(guò)點(diǎn)A（-$\sqrt{2}$，1），
∴2a=|AF₁|+|AF₂|=4，得a=2．∴b²=a²-（-$\sqrt{2}$）²=2．
∴橢圓C₁的方程為 $\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{2}$=1．
（Ⅱ）證明：設(shè)點(diǎn)Q（x，y），點(diǎn)P（x₁，y₁），
由A及橢圓C₁關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)可得B（-$\sqrt{2}$，-1），
∴$\overrightarrow{AQ}$=（x+$\sqrt{2}$，y-1），$\overrightarrow{AP}$=（x₁+$\sqrt{2}$，y₁-1），$\overrightarrow{BQ}$=（x-$\sqrt{2}$，y+1），$\overrightarrow{BP}$=（x₁-$\sqrt{2}$，y₁+1），
由 $\overrightarrow{AQ}•\overrightarrow{AP}$=0，得 （x+$\sqrt{2}$）（x₁+$\sqrt{2}$）+（y-1）（y₁-1）=0，
即（x+$\sqrt{2}$）（x₁+$\sqrt{2}$）=-（y-1）（y₁-1）①，
同理，由$\overrightarrow{BQ}•\overrightarrow{BP}$=0，得（x-$\sqrt{2}$）（x₁-$\sqrt{2}$）=-（y+1）（y₁+1）②，
①•②得 （x²-2）（x₁²-2）=（y²-1）（y₁²-1）．③
由于點(diǎn)P在橢圓C₁上，則$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{4}$+$\frac{{{y}_{1}}^{2}}{2}$=1，得x₁²=4-2y₁²，
代入③式得-2（y₁²-1）（x²-2）=（y²-1）（y₁²-1）．
當(dāng)y₁²-1≠0時(shí)，有2x²+y²=5，
當(dāng)y₁²-1=0，則點(diǎn)P（-$\sqrt{2}$，-1）或P（$\sqrt{2}$，1），
此時(shí)點(diǎn)Q對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)分別為（$\sqrt{2}$，1）或（-$\sqrt{2}$，-1），
其坐標(biāo)也滿(mǎn)足方程2x²+y²=5．
當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)A重合時(shí)，即點(diǎn)P（-$\sqrt{2}$，1），由②得 y=$\sqrt{2}$x-3，
解方程組$\left\{\begin{array}{l}{2{x}^{2}+{y}^{2}=5}\\{y=\sqrt{2}x-3}\end{array}\right.$ 得點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（$\sqrt{2}$，-1）或（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，-2）．
同理，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)B重合時(shí)，可得點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（-$\sqrt{2}$，1）或（-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，2）．
∴點(diǎn)Q在曲線(xiàn)2x²+y²=5上．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓、雙曲線(xiàn)的定義和方程和性質(zhì)，主要考查橢圓的定義和方程的運(yùn)用，同時(shí)考查向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．