Question

9．如圖，已知PA與半圓O切于點(diǎn)A，PO交半圓O于點(diǎn)B、C，AD⊥PO于點(diǎn)D．
（Ⅰ）求證AB平分∠PAD；
（Ⅱ）求證$\frac{PB}{PC}=\frac{DB}{DC}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用BC為半圓O的直徑，AD⊥BC，PA與半圓O切于點(diǎn)A，證明∠PAB=∠BAD，即可證明AB平分∠PAD；
（Ⅱ）證明△PAB∽△PCA，$\frac{PB}{BD}$=$\frac{PC}{CD}$，即可證明$\frac{PB}{PC}=\frac{DB}{DC}$．

解答 證明：（Ⅰ）由題意，BC為半圓O的直徑，A為半圓O上一點(diǎn)，
∴∠BAC=90°，
∵AD⊥BC，
∴∠BAD=∠ACD，
∵PA與半圓O切于點(diǎn)A，
∴∠PAB=∠ACD，
∴∠PAB=∠BAD，
∴AB平分∠PAD；
（Ⅱ）連接AC，
∵∠PAB=∠PCA，∠P=∠P，
∴△PAB∽△PCA，
∴$\frac{PA}{PC}=\frac{PB}{PA}=\frac{AB}{AC}$．
在Rt△BAC中，AD⊥CD，
∴$\frac{AB}{AC}=\frac{AD}{CD}=\frac{BD}{AD}$，
∴$\frac{PA}{PC}=\frac{AD}{CD}$，$\frac{PB}{PA}$=$\frac{BD}{AD}$，
∴$\frac{PC}{DC}=\frac{PA}{AD}$，$\frac{PB}{BD}$=$\frac{PA}{AD}$，
∴$\frac{PB}{BD}$=$\frac{PC}{CD}$，
∴$\frac{PB}{PC}=\frac{DB}{DC}$．

點(diǎn)評 本題考查圓的切線的性質(zhì)，考查三角形相似的判定與性質(zhì)，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．