Question

15．如圖，在體積為16的正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，點(diǎn)M是DD₁的中點(diǎn)，DD₁=2AD．
（1）求棱BC的長(zhǎng)；
（2）求異面直線AD₁與C₁M所成角的大�。�

Answer 1

分析 （1）由題意可得AD²×2AD=16，求出AD，即可求棱BC的長(zhǎng)；
（2）由于AD₁與BC₁平行且相等，故∠BC₁M （或其補(bǔ)角）為異面直線AD₁與C₁M所成角，△MBC₁中，由余弦定理求出 cos∠BC₁M 的值，即可得到∠BC₁M  的值．

解答 解：（1）由題意可得AD²×2AD=16，∴AD=2，∴BC=2…4分
（2）連BC₁，則BC₁∥AD₁，∴∠MC₁B或其補(bǔ)角為直線AD₁與C₁M所成的角 …6分
在△MC₁B中，$M{C_1}=2\sqrt{2}，B{C_1}=2\sqrt{5}，MB=2\sqrt{3}$，∴$cos∠M{C_1}B=\frac{{\sqrt{10}}}{5}$
直線AD₁與C₁M所成角的大小為$arccos\frac{{\sqrt{10}}}{5}$…12分．

點(diǎn)評(píng) 本題考查異面直線所成的角的定義和求法，找出兩異面直線所成的角，是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題．