Question

10．某旅游景區(qū)對(duì)景區(qū)內(nèi)賓館每個(gè)月人住的游客人數(shù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，發(fā)現(xiàn)每年各個(gè)月份來(lái)賓館入住的游客人數(shù)會(huì)發(fā)生周期性的變化，并且有以下規(guī)律：
①每年相同的月份，入住賓館的游客人數(shù)基本相同；
②入住賓館的游客人數(shù)在2月份最少，約為200人，隨后逐月遞增直到8月份達(dá)到最多，約為800人．若一年中入住賓館的游客人數(shù)與月份之間的關(guān)系可以用一個(gè)正弦型三角函數(shù)來(lái)描述，
（1）請(qǐng)求出這個(gè)函數(shù)的解析式；
（2）請(qǐng)問(wèn)哪幾個(gè)月份入住賓館的游客人數(shù)達(dá)到650人以上？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)①，可知函數(shù)的周期是12；根據(jù)②可知，f（2）最小，f（8）最大，f（x）在[2，8]上單調(diào)遞增，由此可得函數(shù)解析式；
（2）由條件知，300sin（$\frac{π}{6}$x-$\frac{5π}{6}$）+500≥650，結(jié)合x(chóng)∈N^*，1≤x≤12，即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）設(shè)該函數(shù)為f（x）=Asin（ωx+φ）+B（A＞0，ω＞0，0＜|φ|＜π）
根據(jù)①，可知函數(shù)的周期是12，
∴$\frac{2π}{ω}$=12，
∴ω=$\frac{π}{6}$；
根據(jù)②可知，f（2）=200最小，f（8）=800最大，且f（8）-f（2）=600，
故該函數(shù)的振幅A=300；B=$\frac{200+800}{2}$=500
又由sin（2×$\frac{π}{6}$+φ）=-1，sin（8×$\frac{π}{6}$+φ）=1，
∵0＜|φ|＜π，
∴φ=-$\frac{5π}{6}$，
∴f（x）=300sin（$\frac{π}{6}$x-$\frac{5π}{6}$）+500；
（2）由條件知，300sin（$\frac{π}{6}$x-$\frac{5π}{6}$）+500≥650，化簡(jiǎn)可得sin（$\frac{π}{6}$x-$\frac{5π}{6}$）+500≥$\frac{1}{2}$，
∴2kπ+$\frac{π}{6}$≤$\frac{π}{6}$x-$\frac{5π}{6}$≤2kπ+$\frac{5π}{6}$，k∈Z
∴12k+6≤x≤12k+10，k∈Z
∵x∈N^*，1≤x≤12
∴x=6，7，8，9，10
∴只有6，7，8，9，10五個(gè)月份游客人數(shù)達(dá)到650人以上．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了在實(shí)際問(wèn)題中建立三角函數(shù)模型的問(wèn)題．解題的技巧是從問(wèn)題中發(fā)現(xiàn)周期變化的規(guī)律，并將所發(fā)現(xiàn)的規(guī)律抽象為恰當(dāng)?shù)娜�角函�?shù)模型．