Question

5．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）過(guò)點(diǎn)（0，1），且離心率為$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
（1）求橢圓C的方程；
（2）已知點(diǎn)A（1，0），點(diǎn)P是橢圓C上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求|PA|的最小值及此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）由題意得$\left\{\begin{array}{l}{b=1}\\{e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}}\\{{a}^{2}=^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，從而求得；
（2）利用參數(shù)法設(shè)點(diǎn)P（2cosα，sinα），從而得到|PA|²=（2cosα-1）²+sin²α，化簡(jiǎn)求最值及最值時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)即可．

解答 解：（1）由題意得，
$\left\{\begin{array}{l}{b=1}\\{e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}}\\{{a}^{2}=^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，
解得，a=2，b=1；
故橢圓C的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1；
（2）設(shè)點(diǎn)P（2cosα，sinα），則
|PA|²=（2cosα-1）²+sin²α
=4cos²α-4cosα+1+sin²α
=3cos²α-4cosα+2
=3（cosα-$\frac{2}{3}$）²+$\frac{2}{3}$，
故當(dāng)cosα=$\frac{2}{3}$時(shí)，|PA|²有最小值$\frac{2}{3}$，
此時(shí)sinα=±$\frac{\sqrt{5}}{3}$；
即當(dāng)P（$\frac{4}{3}$，$\frac{\sqrt{5}}{3}$）或P（$\frac{4}{3}$，-$\frac{\sqrt{5}}{3}$）時(shí)，|PA|有最小值$\frac{\sqrt{6}}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓的方程的求法及參數(shù)法求最值問(wèn)題的應(yīng)用．