Question

15．已知x_n-1=$\frac{1}{1+\frac{1}{{x}_{n}}}$（n為1，2，3）．
（1）當(dāng)x₁=a時(shí)，求x₂₀₁₂的值；
（2）當(dāng)x₁=b時(shí)，求x₁×x₂+x₂×x₃+…+x₂₀₁₀×x₂₀₁₁+x₂₀₁₁×x₂₀₁₂的值．

Answer 1

分析 （1）通過對(duì)x_n-1=$\frac{1}{1+\frac{1}{{x}_{n}}}$變形可知x_n=$\frac{{x}_{n-1}}{1-{x}_{n-1}}$，通過計(jì)算出前幾項(xiàng)的值猜想通項(xiàng)公式并利用數(shù)學(xué)歸納法證明猜想，進(jìn)而可得結(jié)論；
（2）通過（1）裂項(xiàng)可知x_n×x_n+1=b[-$\frac{1}{1-（n-1）b}$+$\frac{1}{1-nb}$]，進(jìn)而并項(xiàng)相加即得結(jié)論．

解答 解：（1）∵x_n-1=$\frac{1}{1+\frac{1}{{x}_{n}}}$（n為1，2，3），
∴x_n=$\frac{{x}_{n-1}}{1-{x}_{n-1}}$（n為1，2，3），
∵x₁=a，∴a≠1，
∴x₂=$\frac{a}{1-a}$，x₃=$\frac{\frac{a}{1-a}}{1-\frac{a}{1-a}}$=$\frac{a}{1-2a}$，x₄=$\frac{\frac{a}{1-2a}}{1-\frac{a}{1-2a}}$=$\frac{a}{1-3a}$，
猜想：x_n=$\frac{a}{1-（n-1）a}$．
下面用數(shù)學(xué)歸納法來證明：
①當(dāng)n=1時(shí)，顯然成立；
②假設(shè)當(dāng)n=k（k≥2）時(shí)命題成立，
則x_k+1=$\frac{{x}_{k}}{1-{x}_{k}}$=$\frac{\frac{a}{1-（k-1）a}}{1-\frac{a}{1-（k-1）a}}$=$\frac{1}{1-ka}$，即當(dāng)n=k+1時(shí)命題成立；
由①、②可知x_n=$\frac{a}{1-（n-1）a}$．
于是x₂₀₁₂=$\frac{a}{1-2011a}$；
（2）由（1）可知：當(dāng)x₁=b（顯然b≠1）時(shí)x_n=$\frac{1-（n-1）b}$，
∴x_n×x_n+1=$\frac{1-（n-1）b}$•$\frac{1-nb}$=b[-$\frac{1}{1-（n-1）b}$+$\frac{1}{1-nb}$]，
于是x₁×x₂+x₃×x₄+…+x₂₀₁₀×x₂₀₁₁+x₂₀₁₁×x₂₀₁₂
=b[（-1+$\frac{1}{1-b}$）+（-$\frac{1}{1-b}$+$\frac{1}{1-2b}$）+…+（-$\frac{1}{1-2009b}$+$\frac{1}{1-2010b}$）]
=b（-1+$\frac{1}{1-2010b}$）
=$\frac{2010^{2}}{1-2010b}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)及前n項(xiàng)和，考查運(yùn)算求解能力，裂項(xiàng)求和是解決本題的關(guān)鍵，注意解題方法的積累，屬于中檔題．