Question

3．設(shè)向量$\overrightarrow{a}$=（$\sqrt{3}$sinx，sinx），$\overrightarrow$=（$\frac{\sqrt{6}}{2}$，$\frac{\sqrt{6}}{2}$），$\overrightarrow{c}$=（cosx，sinx），x∈[0，$\frac{π}{2}$]
（1）若|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow$|，求x的值
（2）設(shè)函數(shù)f（x）=$\overrightarrow$•$\overrightarrow{c}$，求f（x）的最大值．

Answer 1

分析 （1）由|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow$|，可得：4sin²x=3，解得cos2x=-$\frac{1}{2}$，結(jié)合范圍x∈[0，$\frac{π}{2}$]，可得x的值．
（2）先求f（x）=$\sqrt{3}$sin（x+$\frac{π}{4}$），結(jié)合范圍x∈[0，$\frac{π}{2}$]，由正弦函數(shù)的性質(zhì)即可得解．

解答 解：（1）∵|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow$|，
∴可得：4sin²x=3，由倍角公式可得：$\frac{1-cos2x}{2}$=$\frac{3}{4}$，解得cos2x=-$\frac{1}{2}$，
∵x∈[0，$\frac{π}{2}$]，可得2x∈[0，π]，
∴解得：2x=$\frac{2π}{3}$，x=$\frac{π}{3}$．
（2）∵f（x）=$\overrightarrow$•$\overrightarrow{c}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$（sinx+cosx）=$\sqrt{3}$（$\frac{\sqrt{2}}{2}$sinx+$\frac{\sqrt{2}}{2}$cosx）=$\sqrt{3}$sin（x+$\frac{π}{4}$），
∵x∈[0，$\frac{π}{2}$]
∴x+$\frac{π}{4}$∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{3π}{4}$]，
∴f（x）的最大值位$\sqrt{3}$．

點評 本題主要考查了三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用，平面向量數(shù)量積的運算，三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，屬于基本知識的考查．