Question

8．已知中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上的雙曲線(xiàn)與圓x²+y²=17有公共點(diǎn)A（1，-4），且圓在A點(diǎn)的切線(xiàn)與雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)平行，則雙曲線(xiàn)的離心率為（　　）

• A． $\frac{\sqrt{17}}{4}$
• B． $\sqrt{17}$
• C． $\frac{\sqrt{17}}{4}$或$\sqrt{17}$
• D． 以上都不對(duì)

Answer 1

分析 先求出圓過(guò)點(diǎn)P的切線(xiàn)方程，進(jìn)而求出雙曲線(xiàn)的兩條漸近線(xiàn)方程，再利用已知漸近線(xiàn)方程設(shè)出雙曲線(xiàn)的方程，最后把點(diǎn)P的坐標(biāo)代入即可求此雙曲線(xiàn)的方程，即可求出雙曲線(xiàn)的離心率．

解答 解：切點(diǎn)為點(diǎn)A（1，-4）的圓x²+y²=17的切線(xiàn)方程是x-4y=17．
∵雙曲線(xiàn)的一條漸近線(xiàn)與此切線(xiàn)平行，且雙曲線(xiàn)關(guān)于兩坐標(biāo)軸對(duì)稱(chēng)，
∴兩漸近線(xiàn)方程為x±4y=0．
設(shè)所求雙曲線(xiàn)方程為x²-16y²=λ（λ≠0）．
∵A（1，-4）在雙曲線(xiàn)上，代入上式可得λ=-255，
∴$\frac{a}$=4，
∴b=4a，
∴c=$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$=$\sqrt{17}$a，
∴e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{17}$．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線(xiàn)的離心率，考查雙曲線(xiàn)的方程，確定雙曲線(xiàn)的方程是關(guān)鍵．