Question

2．在函數(shù)f（x）=alnx+（x+1）²（x＞0）的圖象上任取兩個(gè)不同的點(diǎn)P（x₁，y₁）、Q（x₂，y₂）（x₁＞x₂），總能使得f（x₁）-f（x₂）＞4（x₁-x₂），則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（$\frac{1}{2}$，+∞）．

Answer 1

分析 先求導(dǎo)數(shù)$f′（x）=\frac{a}{x}+2（x+1）$，根據(jù)條件可得到$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}＞4$，從而根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義便可得到$\frac{a}{x}+2（x+1）＞4$，這樣便可得到a＞-2x²+2x，容易求出二次函數(shù)y=-2x²+2x在（0，+∞）上的最大值，從而便可得出實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答 解：$f′（x）=\frac{a}{x}+2（x+1）$；
∵x₁＞x₂；
∴x₁-x₂＞0；
∴由f（x₁）-f（x₂）＞4（x₁-x₂）得，$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}＞4$；
∴$\frac{a}{x}+2（x+1）＞4$；
∴a＞-2x²+2x恒成立；
$-2{x}^{2}+2x=-2（x-\frac{1}{2}）^{2}+\frac{1}{2}≤\frac{1}{2}$；
∴$a＞\frac{1}{2}$；
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍為（$\frac{1}{2}，+∞$）．
故答案為：$（\frac{1}{2}，+∞）$．

點(diǎn)評(píng) 考查函數(shù)導(dǎo)數(shù)的定義，配方法求二次函數(shù)的最值，以及關(guān)于恒成立問題的處理方法，要正確求導(dǎo)．