Question

5．∫${\;}_{-1}^{1}$（$\sqrt{1{-x}^{2}}$+x³）dx=$\frac{π}{2}$．

Answer 1

分析 由題意可得∫${\;}_{-1}^{1}$（$\sqrt{1{-x}^{2}}$+x³）dx=∫${\;}_{-1}^{1}$$\sqrt{1{-x}^{2}}$dx+∫${\;}_{-1}^{1}$x³dx，分別由定積分的幾何意義和牛頓-萊布尼茲公式可得．

解答 解：∫${\;}_{-1}^{1}$（$\sqrt{1{-x}^{2}}$+x³）dx=∫${\;}_{-1}^{1}$$\sqrt{1{-x}^{2}}$dx+∫${\;}_{-1}^{1}$x³dx，
∵∫${\;}_{-1}^{1}$$\sqrt{1{-x}^{2}}$dx表示單位圓x²+y²=1的上半個圓的面積，
∴∫${\;}_{-1}^{1}$$\sqrt{1{-x}^{2}}$dx=$\frac{π}{2}$，又∫${\;}_{-1}^{1}$x³dx=$\frac{1}{4}$x⁴${|}_{-1}^{1}$=0，
∴∫${\;}_{-1}^{1}$（$\sqrt{1{-x}^{2}}$+x³）dx=$\frac{π}{2}$，
故答案為：$\frac{π}{2}$．

點評 本題考查定積分的求解，涉及定積分的幾何意義和公式求解，屬基礎題．