Question

12．設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，已知2S_n=3ⁿ+3．
（Ⅰ）求{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）若數(shù)列{b_n}，滿足a_nb_n=log₃a_n，求{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用2S_n=3ⁿ+3，可求得a₁=3；當(dāng)n＞1時，2S_n-1=3^n-1+3，兩式相減2a_n=2S_n-2S_n-1，可求得a_n=3^n-1，從而可得{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）依題意，a_nb_n=log₃a_n，可得b₁=$\frac{1}{3}$，當(dāng)n＞1時，b_n=3^1-n•log₃3^n-1=（n-1）×3^1-n，于是可求得T₁=b₁=$\frac{1}{3}$；當(dāng)n＞1時，T_n=b₁+b₂+…+b_n=$\frac{1}{3}$+（1×3^-1+2×3^-2+…+（n-1）×3^1-n），利用錯位相減法可求得{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

解答 解：（Ⅰ）因?yàn)?S_n=3ⁿ+3，所以2a₁=3¹+3=6，故a₁=3，
當(dāng)n＞1時，2S_n-1=3^n-1+3，
此時，2a_n=2S_n-2S_n-1=3ⁿ-3^n-1=2×3^n-1，即a_n=3^n-1，
所以a_n=$\left\{\begin{array}{l}3，n=1\\{3}^{n-1}，n＞1.\end{array}\right.$．
（Ⅱ）因?yàn)閍_nb_n=log₃a_n，所以b₁=$\frac{1}{3}$，
當(dāng)n＞1時，b_n=3^1-n•log₃3^n-1=（n-1）×3^1-n，
所以T₁=b₁=$\frac{1}{3}$；
當(dāng)n＞1時，T_n=b₁+b₂+…+b_n=$\frac{1}{3}$+（1×3^-1+2×3^-2+…+（n-1）×3^1-n），
所以3T_n=1+（1×3⁰+2×3^-1+3×3^-2+…+（n-1）×3^2-n），
兩式相減得：2T_n=$\frac{2}{3}$+（3⁰+3^-1+3^-2+…+3^2-n-（n-1）×3^1-n）=$\frac{2}{3}$+$\frac{1-{3}^{1-n}}{1-{3}^{-1}}$-（n-1）×3^1-n=$\frac{13}{6}$-$\frac{6n+3}{2×{3}^{n}}$，
所以T_n=$\frac{13}{12}$-$\frac{6n+3}{4×{3}^{n}}$，經(jīng)檢驗(yàn)，n=1時也適合，
綜上可得T_n=$\frac{13}{12}$-$\frac{6n+3}{4×{3}^{n}}$．

點(diǎn)評 本題考查數(shù)列的求和，著重考查數(shù)列遞推關(guān)系的應(yīng)用，突出考查“錯位相減法”求和，考查分析、運(yùn)算能力，屬于中檔題．