Question

17．一個(gè)正方體的平面展開圖及該正方體的直觀圖的示意圖如圖所示．在正方體中，設(shè)BC的中點(diǎn)為M、GH的中點(diǎn)為N．
（Ⅰ）請將字母F、G、H標(biāo)記在正方體相應(yīng)的頂點(diǎn)處（不需說明理由）；
（Ⅱ）證明：直線MN∥平面BDH；
（Ⅲ）求二面角A-EG-M的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)展開圖和直觀圖之間的關(guān)系進(jìn)行判斷即可；
（Ⅱ）利用線面平行的判定定理即可證明直線MN∥平面BDH；
（Ⅲ）法一：利用定義法求出二面角的平面角進(jìn)行求解．
法二：建立坐標(biāo)系，利用向量法進(jìn)行求解即可．

解答 解：（Ⅰ）F、G、H的位置如圖；
證明：（Ⅱ）連接BD，設(shè)O是BD的中點(diǎn)，
∵BC的中點(diǎn)為M、GH的中點(diǎn)為N，
∴OM∥CD，OM=$\frac{1}{2}$CD，
HN∥CD，HN=$\frac{1}{2}$CD，
∴OM∥HN，OM=HN，
即四邊形MNHO是平行四邊形，
∴MN∥OH，
∵M(jìn)N?平面BDH；OH?面BDH，
∴直線MN∥平面BDH；
（Ⅲ）方法一：
連接AC，過M作MH⊥AC于P，
則正方體ABCD-EFGH中，AC∥EG，
∴MP⊥EG，
過P作PK⊥EG于K，連接KM，
∴EG⊥平面PKM
則KM⊥EG，
則∠PKM是二面角A-EG-M的平面角，
設(shè)AD=2，則CM=1，PK=2，
在Rt△CMP中，PM=CMsin45°=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
在Rt△PKM中，KM=$\sqrt{P{K}^{2}+P{M}^{2}}$=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，
∴cos∠PKM=$\frac{PK}{KM}=\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
即二面角A-EG-M的余弦值為$\frac{2\sqrt{2}}{3}$．
方法二：以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，

分別為DA，DC，DH方向?yàn)閤，y，z軸建立空間坐標(biāo)系如圖：
設(shè)AD=2，則M（1，2，0），G（0，2，2），E（2，0，2），O（1，1，0），
則$\overrightarrow{GE}$=（2，-2，0），$\overrightarrow{MG}=（-1，0，2）$，
設(shè)平面EGM的法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{GE}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{MG}=0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{2x-2y=0}\\{-x+2z=0}\end{array}\right.$，令x=2，得$\overrightarrow{n}$=（2，2，1），
在正方體中，DO⊥平面AEGC，
則$\overrightarrow{m}$=$\overrightarrow{DO}$=（1，1，0）是平面AEG的一個(gè)法向量，
則cos＜$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{2+2}{\sqrt{9}×\sqrt{2}}$=$\frac{4}{3\sqrt{2}}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$．
二面角A-EG-M的余弦值為$\frac{2\sqrt{2}}{3}$．

點(diǎn)評 本題主要考查簡單空間圖形的直觀圖，空間線面平行的判定和性質(zhì)，空間面面夾角的計(jì)算，考查空間想象能力，推理能力，運(yùn)算求解能力．