Question

17．已知f（x）=sinx+cosx+sin2x，若?t∈R，x∈R，asint+2a+1≥f（x）恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是（　�。�

• A． （-∞，$\sqrt{2}$]
• B． [$\sqrt{2}$-1，+∞）
• C． [-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$]
• D． [$\sqrt{2}$，+∞）

Answer 1

分析 令m=sinx+cosx=$\sqrt{2}$$sin（x+\frac{π}{4}）$∈$[-\sqrt{2}，\sqrt{2}]$．則sin2x=m²-1．可得f（x）=sinx+cosx+sin2x=m²+m-1=g（m），利用二次函數(shù)的單調性可得：g（m）_max=1+$\sqrt{2}$．?t∈R，x∈R，asint+2a+1≥f（x）恒成立，化為a≥$\frac{\sqrt{2}}{2+sint}$，求出$\frac{\sqrt{2}}{2+sint}$的最大值即可．

解答 解：令m=sinx+cosx=$\sqrt{2}$$sin（x+\frac{π}{4}）$∈$[-\sqrt{2}，\sqrt{2}]$．則m²=1+2sinxcosx，∴sin2x=m²-1．
∴f（x）=sinx+cosx+sin2x=m²+m-1=g（m），
∴g（m）=$（m-\frac{1}{2}）^{2}$-$\frac{5}{4}$，函數(shù)g（m）在$[-\sqrt{2}，\frac{1}{2}]$內單調遞減，在$[\frac{1}{2}，\sqrt{2}]$內單調遞增．
g（-$\sqrt{2}$）=1-$\sqrt{2}$，g（$\sqrt{2}$）=1+$\sqrt{2}$．
∴g（m）_max=1+$\sqrt{2}$．
∵?t∈R，x∈R，asint+2a+1≥f（x）恒成立，
∴asint+2a+1≥1+$\sqrt{2}$，
化為a≥$\frac{\sqrt{2}}{2+sint}$，
∵$\frac{\sqrt{2}}{2+sint}$的最大值為$\sqrt{2}$，
∴$a≥\sqrt{2}$．
故選：D．

點評 本題考查了三角函數(shù)求值、二次函數(shù)的單調性、同角三角函數(shù)基本關系式、倍角公式、恒成立問題的等價轉化方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．