Question

15．已知（x-1）⁹=a₁x⁹+a₂x⁸+a₃x⁷+…+a₉x+a₁₀．
（Ⅰ）求a₁和a₄的值；
（Ⅱ）求式子a₂+a₄+…+a₁₀的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）在二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式中，令k分別等于0和3，即可求得a₁和a₄的值．
（Ⅱ）在所給的等式中，分別令x=1，x=-1，可得2個(gè)式子，再根據(jù)這2個(gè)式子求得a₂+a₄+a₆+a₈+a₁₀的值．

解答 解：（Ⅰ）由二項(xiàng)式定理，得（x-1）⁹的展開式的通項(xiàng)是${T_{k+1}}={（-1）^k}C_9^k{x^{9-k}}$，
令k=0，3，得${T_1}=C_9^0{x^9}={x^9}$，${T_4}={（-1）^3}C_9^3{x^6}=-84{x^6}$．
∵${（x-1）^9}={a_1}{x^9}+{a_2}{x^8}+{a_3}{x^7}+…+{a_9}x+{a_{10}}$，
∴a₁=1，a₄=-84．
（Ⅱ）∵${（x-1）^9}={a_1}{x^9}+{a_2}{x^8}+{a_3}{x^7}+…+{a_9}x+{a_{10}}$，
∴令x=1，得（1-1）⁹=a₁+a₂+a₃+…+a₉+a₁₀．
令x=-1，得（-1-1）⁹=-a₁+a₂-a₃+…-a₉+a₁₀．
∴（1-1）⁰+（-1-1）⁹=2a₂+2a₄+…+2a₁₀．
∴a₂+a₄+a₆+a₈+a₁₀=-256．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式，注意根據(jù)題意，分析所給代數(shù)式的特點(diǎn)，通過給二項(xiàng)式的x賦值，求展開式的系數(shù)和，可以簡便的求出答案，屬于中檔題．