Question

5．已知關于x的一元二次不等式x²+2mx+m+2≥0的解集為R．
（Ⅰ）求實數m的取值范圍；
（Ⅱ）求函數f（m）=m+$\frac{3}{m+2}$的最小值；
（Ⅲ）解關于x的一元二次不等式x²+（m-3）x-3m＞0．

Answer 1

分析 （Ⅰ）不等式恒成立，需△≤0，解出即可，
（Ⅱ）求出m+2的范圍，利用基本不等式即可求出最小值，
（Ⅲ）x²+（m-3）x-3m＞0．可化為（x+m）（x-3）＞0，比價-m和3的大小，即可得到不等式的解集．

解答 解：（Ⅰ）∵x²+2mx+m+2≥0的解集為R，
∴△=4m²-4（m+2）≤0，
解得：-1≤m≤2．
∴實數m的取值范圍：[-1，2]．
（Ⅱ）∵2-2$\sqrt{3}$≤m≤2+2$\sqrt{3}$．
∴0＜4-2$\sqrt{3}$≤m+2≤4+2$\sqrt{3}$．
∴f（m）=m+$\frac{3}{m+2}$=m+2+$\frac{3}{m+2}$-2≥2$\sqrt{（m+2）\frac{3}{（m+2）}}$-2=2$\sqrt{3}$-2，當且僅當m=$\sqrt{3}$-2時取等號，
∴函數f（m）=m+$\frac{3}{m+2}$的最小值為2$\sqrt{3}$-2，
（Ⅲ）x²+（m-3）x-3m＞0．可化為（x+m）（x-3）＞0，
∵2-2$\sqrt{3}$≤m≤2+2$\sqrt{3}$．
∴-2-2$\sqrt{3}$≤-m≤-2+2$\sqrt{3}$＜3．
∴不等式的解集為（-∞，-m）∪（3，+∞）．

點評 本題考查了一元二次不等式恒成立的問題以及解法和基本不等式的應用，屬于中檔題．