Question

20．已知命題p：?x∈[0，3]，a≥-x²+2x-$\frac{2}{3}$，命題q：?x∈R，x²+4x+a=0，若命題“p∧q”是真命題，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)分別求出關(guān)于命題p，q的a的范圍，從而求出a的范圍．

解答 解：設(shè)f（x）=-x²+2x-$\frac{2}{3}$，（0≤x≤3），
則f（x）=-（x-1）²+$\frac{1}{3}$，
又0≤x≤3，∴當x=1時，f（x）_max=f（1）=$\frac{1}{3}$，
由已知得：命題P：a≥$\frac{1}{3}$，
由命題q：△=16-4a≥0，即a≤4，
又命題“p∧q”是真命題，
∴a≥$\frac{1}{3}$且a≤4成立，即$\frac{1}{3}$≤a≤4，
故實數(shù)a的取值范圍是[$\frac{1}{3}$，4]．

點評 本題考查了復(fù)合命題的判斷，考查二次函數(shù)的性質(zhì)，是一道基礎(chǔ)題．