Question

15．已知函數(shù)f（x）=$\frac{{e}^{x}}{1+a{x}^{2}}$
（1）當(dāng)a=$\frac{4}{3}$時(shí)，求函數(shù)f（x）的極值；
（2）若f（x）為R上的單調(diào)函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的極值即可；
（2）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，a=0時(shí)，不合題意，a≠0時(shí)，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求出a的范圍即可．

解答 解：（1）a=$\frac{4}{3}$時(shí)，f（x）=$\frac{{e}^{x}}{1+{\frac{4}{3}x}^{2}}$，
f′（x）=$\frac{{3e}^{x}（2x-3）（2x-1）}{{（3+{4x}^{2}）}^{2}}$，
令f′（x）＞0，解得：x＞$\frac{3}{2}$或x＜$\frac{1}{2}$，
令f′（x）＜0，解得：$\frac{1}{2}$＜x＜$\frac{3}{2}$，
∴f（x）在（-∞，$\frac{1}{2}$）遞增，在（$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{2}$）遞減，在（$\frac{3}{2}$，+∞）遞增，
∴f（x）_極大值=f（$\frac{1}{2}$）=$\frac{3\sqrt{e}}{4}$，f（x）_極小值=f（$\frac{3}{2}$）=$\frac{e\sqrt{e}}{4}$；
（2）f′（x）=$\frac{{e}^{x}（{ax}^{2}-2ax+1）}{{（1+{ax}^{2}）}^{2}}$，
a=0時(shí)，f′（x）＞0，f（x）遞增，符合題意，
a≠0時(shí)，若f（x）為R上的單調(diào)函數(shù)，
只需函數(shù)g（x）=ax²-2ax+1和x軸的交點(diǎn)最多是1個(gè)，
故△=4a²-4a≤0，解得：0≤a≤1，
綜上：0≤a≤1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、極值問(wèn)題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及二次函數(shù)的性質(zhì)，是一道中檔題．