Question

6．已知常數(shù)a＞$\frac{1}{2}$，則函數(shù)y=x²+|x-a|+1的最小值為（　　）

• A． a+1
• B． a+$\frac{3}{4}$
• C． a²+1
• D． $\frac{3}{4}$-a

Answer 1

分析 根據(jù)絕對值的應(yīng)用，分類討論，利用對a的討論把解析式具體化，利用二次函數(shù)性質(zhì)求出定義域下的值域即可．

解答 解：當(dāng)x≤a時，f（x）=x²-（x-a）+1=（x-$\frac{1}{2}$）²+a+$\frac{3}{4}$．
對稱軸為x=$\frac{1}{2}$，當(dāng)a＞$\frac{1}{2}$時，函數(shù)f（x）在（-∞，a]上的最小值為f（$\frac{1}{2}$）=$\frac{3}{4}$+a；
當(dāng)x≥a時，函數(shù)f（x）=x²+（x-a）+1=（x+$\frac{1}{2}$）²-a+$\frac{3}{4}$．
當(dāng)a＞$\frac{1}{2}$，函數(shù)f（x）在[a，+∞）上單調(diào)遞增，
從而函數(shù)f（x）在[a，+∞）上的最小值為f（a）=a²+1．
∵a＞$\frac{1}{2}$，
∴a²+1-（$\frac{3}{4}$+a）=a²-a+$\frac{1}{4}$=（a-$\frac{1}{2}$）²＞0，
即a²+1＞$\frac{3}{4}$+a，
即a＞$\frac{1}{2}$時，函數(shù)f（x）的最小值為$\frac{3}{4}$+a．
故選：B．

點(diǎn)評 本題主要考查函數(shù)最值的求解，考查了學(xué)生分類討論的思想，還考查了絕對值函數(shù)的對絕對值的討論及二次函數(shù)在定義域下求值域．