Question

16．已知x₀是函數(shù)f（x）=2^x-log_0.5x的零點(diǎn)．則（　　）

• A． 2^x₀＜1＜x₀
• B． x₀＜2^x₀＜1
• C． 1＜x₀＜2^x₀
• D． x₀＜1＜2^x₀

Answer 1

分析 先判斷函數(shù)ff（x）=2^x-log_0.5x的零點(diǎn)所在區(qū)間，我們可以利用零點(diǎn)存在定理，即函數(shù)f（x）在區(qū)間（a，b）上若f（a）•（b）＜0，則函數(shù)f（x）在區(qū)間（a，b）上有零點(diǎn)，再根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)即可判斷．

解答 解：∵f（x）=2^x-log_0.5x在其定義域?yàn)閱握{(diào)增函數(shù)，
f（$\frac{1}{2}$）=$，\sqrt{2}$-1＞0，f（$\frac{1}{4}$）=${2}^{\frac{1}{4}}$-log_0.5$\frac{1}{4}$=${2}^{\frac{1}{4}}$-2＜0，
∴f（$\frac{1}{4}$）f（$\frac{1}{2}$）＜0，
∴函數(shù)f（x）零點(diǎn)在（$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{2}$）上，
即x₀∈（$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{2}$），
∴2^x₀＞1，
∴x₀＜1＜2^x₀
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷，牢固掌握零點(diǎn)存在定理，即函數(shù)f（x）在區(qū)間（a，b）上若f（a）•（b）＜0，則函數(shù)f（x）在區(qū)間（a，b）上有零點(diǎn)，是解答本題的關(guān)鍵．