Question

11．已知圓O：x²+y²=5和定點(diǎn)A（4，3），由圓O外一點(diǎn)P（a，b）向圓O引切線PQ，切點(diǎn)為Q，且滿足|PQ|=|PA|
（1）求實(shí)數(shù)a、b間滿足的等量關(guān)系；
（2）求線段PQ長(zhǎng)的最小值；
（3）若以P為圓心所作的圓P與圓O有公共點(diǎn)，試求半徑取最小值時(shí)圓P的方程．

Answer 1

分析 （1）連接OQ、OP，則△OQP為直角三角形，利用|PQ|=|PA|，求P點(diǎn)的軌跡方程；
（2）表示出|PQ|，利用配方法求|PQ|的最小值；
（3）以P為圓心的圓與圓O有公共點(diǎn)，半徑最小時(shí)為與圓O相切的情形，而這些半徑的最小值為圓O到直線l的距離減去圓O的半徑，即可求出半徑最小的圓的方程．

解答 解�。�1）連接OQ、OP，則△OQP為直角三角形，
又|PQ|=|PA|，
所以|OP|²=|OQ|²+|PQ|²=5+|PA|²，
所以a²+b²=5+（a-4）²+（b-3）²，故4a+3b-15=0．
（2）由|PQ|²=|OP|²-5=a²+b²-5=$\frac{25}{9}$（a-$\frac{12}{5}$）²+4，
得|PQ|_min=4．
（3）以P為圓心的圓與圓O有公共點(diǎn)，半徑最小時(shí)為與圓O相切的情形，而這些半徑的最小值為圓O到直線l的距離減去圓O的半徑，圓心P為過(guò)原點(diǎn)且與l垂直的直線l′與l的交點(diǎn)P₀，所以r=3-$\sqrt{5}$，
又l′：3x-4y=0，聯(lián)立l：4x+3y-15=0得P₀（$\frac{12}{5}$，$\frac{9}{5}$）．
所以所求圓的方程為（x-$\frac{12}{5}$）²+（y-$\frac{9}{5}$）²=（3-$\sqrt{5}$）²．

點(diǎn)評(píng) 本題考查軌跡方程，考查直線與圓的位置關(guān)系，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．