Question

4．已知log₂（x+y）=log₂x+log₂y，則$\frac{4x}{x-1}+\frac{9y}{y-1}$的最小值是（　�。�

• A． 16
• B． 25
• C． 36
• D． 81

Answer 1

分析 根據(jù)對數(shù)的運(yùn)算法則得到$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{y}$=1，然后將$\frac{4x}{x-1}+\frac{9y}{y-1}$進(jìn)行化簡整理為$\frac{4x}{x-1}+\frac{9y}{y-1}$=9x+4y，然后利用基本不等式進(jìn)行求解．

解答 解：∵log₂（x+y）=log₂x+log₂y，
∴l(xiāng)og₂（x+y）=log₂（xy），
即x+y=xy＞0，且x＞0，y＞0，
即$\frac{x+y}{xy}$=1，
即$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{y}$=1，則$\frac{1}{x}$=1-$\frac{1}{y}$，$\frac{1}{y}$=1-$\frac{1}{x}$，
則$\frac{4x}{x-1}+\frac{9y}{y-1}$=$\frac{4}{1-\frac{1}{x}}$+$\frac{9}{1-\frac{1}{y}}$=$\frac{4}{\frac{1}{y}}$+$\frac{9}{\frac{1}{x}}$=9x+4y，
∵9x+4y=（9x+4y）（$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{y}$）=9+4+$\frac{4y}{x}$+$\frac{9x}{y}$≥13+2$\sqrt{\frac{4y}{x}•\frac{9x}{y}}$=13+2×6=25，
當(dāng)且僅當(dāng)$\frac{4y}{x}$=$\frac{9x}{y}$，即4y²=9x²，即2y=3x時(shí)取等號(hào)，
∴$\frac{4x}{x-1}+\frac{9y}{y-1}$的最小值是25．
故選：B

點(diǎn)評 本題主要考查函數(shù)最值的求解以及對數(shù)的運(yùn)算法則，根據(jù)基本不等式是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強(qiáng)，有一定的難度．